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Pentagonali generalizzati (numeri)

Numeri figurati  Teoria dei numeri 

I numeri pentagonali generalizzati sono i numeri naturali della forma Formula per il calcolo dei numeri pentagonali generalizzati; si possono esprimere con un’unica formula come Formula per il calcolo dei numeri pentagonali generalizzati.

Alternativamente possono essere definiti come i numeri pentagonali, ottenuti dalla consueta formula Formula per il calcolo dei numeri pentagonali, ammettendo però anche valori negativi di n.

 

Furono studiati da Eulero e da questi usati nella formula per la funzione σ e nella formula per il numero di partizioni.

 

Per le somme dei numeri pentagonali generalizzati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri pentagonali generalizzati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri pentagonali generalizzati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri pentagonali generalizzati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri pentagonali generalizzati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri pentagonali generalizzati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri pentagonali generalizzati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri pentagonali generalizzati a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri pentagonali generalizzati a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri pentagonali generalizzati a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri pentagonali generalizzati a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri pentagonali generalizzati a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri pentagonali generalizzati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri pentagonali generalizzati.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri pentagonali generalizzati.

n

Pn

1

1

2

2

3

5

4

7

5

12

6

15

7

22

8

26

9

35

10

40

11

51

12

57

13

70

14

77

15

92

16

100

17

117

18

126

19

145

20

155

 

Gli unici interi positivi non rappresentabili come somma di numeri pentagonali generalizzati differenti sono 4 e 11.

 

Dickson dimostrò nel 1934 che tutti gli interi positivi, tranne 6 eccezioni, possono essere rappresentati come somma di 4 numeri pentagonali; dato che le eccezioni possono essere rappresentate con soli 3 numeri pentagonali generalizzati, dimostrò quindi che ogni intero può essere rappresentato come somma di al massimo 4 numeri pentagonali generalizzati.

R.K. Guy dimostrò nel 1994 che ne bastano 3.

Zhi-Wei Sun dimostrò nel 2014 che esistono al massimo 20 triple di interi positivi a, b e c, tali che tutti gli interi possano essere rappresentati come somme di numeri poligonali generalizzati del tipo Somma di numeri poligonali generalizzati che permette di rappresentare tutti gli interi positivi, con n maggiore di 3 e diverso da 6; per tutte n = 5, quindi si tratta di numeri pentagonali generalizzati. I valori possibili di a, b e c sono:

  • { 1, 1, 1 } (R.K. Guy, 1994);

  • { 1, 1, 2 } (Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 1, 3 } (G. Fan e Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 1, 4 } (Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 1, 5 } (Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 1, 6 }*;

  • { 1, 1, 8 }*;

  • { 1, 1, 9 }*;

  • { 1, 1, 10 }*;

  • { 1, 2, 2 } (Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 2, 3 } (G. Fan e Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 2, 4 } (Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 2, 6 } (G. Fan e Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 2, 8 }*;

  • { 1, 3, 3 } (G. Fan e Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 3, 4 } (G. Fan e Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 3, 6 } (Zhi-Wei Sun, 2009);

  • { 1, 3, 7 } (B. Kane e Sun, 2009);

  • { 1, 3, 8 }*;

  • { 1, 3, 9 } (G. Fan e Zhi-Wei Sun, 2009).

Si suppone che tutte queste triple possano rappresentare tutti gli interi positivi, ma la dimostrazione manca ancora per le sei triple indicate con l’asterisco; è stato verificato che queste ultime possono rappresentare gli interi fino a 109 (M. Fiorentini, 2015).

 

Un intero positivo n è un numero pentagonale generalizzato se e solo se 24n + 1 è un quadrato.

 

Si chiama “formula dei numeri pentagonali di Eulero” l’identità Formula dei numeri pentagonali di Eulero (Eulero, 1775).

Due identità analoghe sono: Identità analoga alla formula di Eulero e Identità analoga alla formula di Eulero.

 

Vedi anche

Numeri pentagonali.

Bibliografia

  • Honsberger, Ross;  Ingenuity in Mathematics, The Mathematical Association of America, 1970.

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