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Cunningham (numeri di)

Teoria dei numeri 

Sono i numeri della forma bn ± 1. Prendono il nome da Allan Joseph Champneys Cunningham (Dehli, 1842 – Londra, 1928), che pubblicò, insieme con Herbert J. Woodall la prima tabella di scomposizioni di questi numeri in fattori primi.

Tali tabelle furono estese ininterrottamente da allora e oggi il “progetto Cunningham” promuove in rete ulteriori ricerche e raccoglie i risultati noti.

 

I numeri di Cunningham minori di 1000 sono: 0, 2, 3, 5, 7, 8, 9, 10, 15, 15, 17, 17, 24, 26, 26, 28, 31, 33, 35, 37, 48, 50, 63, 63, 63, 65, 65, 65, 80, 80, 82, 82, 99, 101, 120, 122, 124, 126, 127, 129, 143, 145, 168, 170, 195, 197, 215, 217, 224, 226, 242, 244, 255, 255, 255, 257, 257, 257, 288, 290, 323, 325, 342, 344, 360, 362, 399, 401, 440, 442, 483, 485, 511, 511, 513, 513, 528, 530, 575, 577, 624, 624, 626, 626, 675, 677, 728, 728, 728, 730, 730, 730, 783, 785, 840, 842, 899, 901, 960, 962, 999.

Qui trovate i numeri di Cunningham minori di 109.

 

I numeri della forma bn + 1 possono essere primi solo se b è pari e n è una potenza di 2. Gli unici primi noti di questa forma sono i primi di Fermat, i numerosi primi della forma b2 + 1, come 37 e 101, e 64 + 1 = 1297; sicuramente non ve ne sono altri per b minore di 12 ed esponenti fino a 1000.

Se b = 2 abbiamo i numeri di Fermat.

 

Quelli della forma bn – 1 possono essere primi solo se b è 2 e n è primo, ovvero se sono primi di Mersenne.

Se b = 2 abbiamo i numeri di Mersenne.

 

I fattori primi di b alla n, meno 1, diviso b meno 1 sono della forma 2kn – 1, se n è primo, tranne nel caso in cui n divida b – 1, nel qual caso n è un fattore primo.

 

Il progetto Cunningham, iniziato nel 1925, mira a scomporre i numeri di Cunningham per b da 2 a 12.

Due tipi di fattori possono essere ricavati senza eseguire complessi calcoli.

I fattori algebrici derivano da scomposizioni algebriche dei numeri: bn + 1 divide bkn + 1 per k dispari e bn – 1 divide bkn – 1.

I fattori aurifeulliani derivano da scomposizioni aurifeulliane dei numeri, in base a formule che dipendono da b:

  • 24m + 2 + 1 = (22m + 1 + 2m + 1 + 1)(22m + 1 – 2m + 1 + 1);

  • 36m + 3 + 1 = (32m + 1 + 1)(32m + 1 + 3m + 1 + 1)(32m + 1 – 3m + 1 + 1);

  • 510m + 5 – 1 = (52m + 1 – 1)(t2 + 5m + 1t + 1) (t2 – 5m + 1t + 1), con t = 52m + 1 + 1;

  • 612m + 6 + 1 = (64m + 2 + 1)(t2 + 6m + 1t + 1) (t2 – 6m + 1t + 1), con t = 62m + 1 + 1;

  • 714m + 7 + 1 = t(t3 + r)(t3r), con t = 72m + 1 + 1 e r = 7m + 1(t2 – 72m + 1);

  • 1020m + 10 + 1 = (104m + 2 + 1)(t + r)(tr), con t = 108m + 4 + 5 · 106m + 3 + 7 · 104m + 2 + 5 · 102m + 1 + 1 e r = 10m + 1(106m + 3 + 2 • 104m + 2 + 2 • 102m + 1 + 1);

  • 1122m + 11 + 1 = (112m + 1 + 1)(t + r)(tr), con t = 1110m + 5 + 5 · 118m + 4 –116m + 3 – 114m + 2 + 5 · 112m + 1 + 1 e r = 11m + 1(118m + 4 + 116m + 3 – 114m + 2 + 112m + 1 + 1);

  • 126m + 3 + 1 = (122m + 1 + 1)(122m + 1 + 22m + 13m + 1 + 1) (122m + 1 – 22m + 13m + 1 + 1).

Queste scomposizioni prendono il nome da Léon François Antoine Aurifeuille (1822 – 1882), che nel 1871 scompose tramite la prima di esse 258 + 1. La stessa scomposizione era stata pubblicata due anni prima da Fortuné Landry, al termine di un lunghissimo lavoro manuale.

 

Tolti i fattori algebrici e aurifeulliani, i restanti fattori primi di bn ± 1 sono della forma 2kn + 1.

 

Una volta trovati alcuni fattori, bisogna poi scomporre anche questi, o verificare che siano primi; in generale è più semplice se si parte da una scomposizione aurifeulliana, perché il massimo numero da esaminare è minore (dell’ordine della radice quadrata del numero di Cunningham o anche inferiore). Infatti i limiti raggiunti dal progetto Cunningham quando sono possibili scomposizioni aurifeulliana sono molto maggiori.

 

La tabella seguente mostra i limiti raggiunti della scomposizione dei numeri di Cunningham.

b

Limite per n

Limite per n, quando è possibile una scomposizione aurifeulliana

2

1200

2400

3

800

1600

5

500

1000

6

450

900

7

400

800

10

400

800

11

350

700

12

300

600

 

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