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Skewes (numero di)

Teoria dei numeri  Vari 

Il numero di Skewes è stato per vari decenni il più grande numero utilizzato in una dimostrazione matematica. E’ tanto grande che può essere espresso solo sotto forma di potenze: 10101034 e che neppure il numero di cifre decimali necessarie per scriverlo può essere scritto per esteso in notazione decimale (utilizzando una singola particella per cifra, non basterebbero tutte le particelle presenti nell’universo secondo le stime più recenti).

 

Il numero è legato al problema di approssimare π(n), il numero di numeri primi minori di n.

 

La prima congettura di Gauss, Congettura di Gauss sulla crescita asintotica della funzione π, dà una stima approssimata, ma asintoticamente corretta, perché nel 1896 Hadamard e de la Vallée Poussin dimostrarono che Crescita asintotica della funzione π.

 

Gauss propose nel 1803 il logaritmo integrale come approssimazione di π(n), ossia congetturò che Congettura di Gauss sulla crescita asintotica della funzione π. Questa approssimazione è molto buona, ma il logaritmo integrale sembra dare valori leggermente maggiori di π(n): per n = 106 la differenza è circa 130, per n = 1012 sale a circa 38263, per n = 1018 sale a circa 21949555 e per n = 1022 arriva a circa 1932355208.

Si noti che per la definizione della funzione Li l’Europa è generalmente fedele alla definizione di Gauss, mentre il Nuovo Mondo preferisce la definizione Formula per la definizione della funzione Li, adottata da Riemann; la differenza tra le due è Differenza tra le definizionu della funzione Li ed è irrilevante nelle stime asintotiche.

Alle voci frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della differenza.

 

Un’approssimazione molto migliore, ma anche più complessa da calcolare, fu scoperta da Riemann: Formula di Riemann per il calcolo della funzione π.

 

Per parecchio tempo si credette che le due approssimazioni di Gauss fossero sempre in eccesso, ma nel 1914 Littlewood dimostrò che esistono infiniti valori di n per i quali π(n) > Li(n) + sqrt(n) * log(log(log(n))) / (3 * log(n)) e infiniti per i quali π(n) < Li(n) – sqrt(n) * log(log(log(n))) / (3 * log(n)) pertanto la differenza π(n) – Li(n) cambia segno infinite volte e la seconda approssimazione di Gauss è sia infinite volte in eccesso, sia infinite volte in difetto.

Nel 1962 J.B. Rosser e L. Schoenfeld dimostrarono che n / log(n) ≥ π(n) per n > 16 e quindi la prima approssimazione di Gauss è sempre in eccesso per n > 16.

 

Riemann dimostrò che Formula di Riemann per il calcolo della funzione π, dove la somma va calcolata sugli zeri della funzione ζ; i termini mancanti della somma sono molto minori dei primi. Dato che per ogni zero della funzione ζ anche il suo coniugato è uno zero e che Li(z) + Li(z) = 2Re(Li(z)), la somma sugli zeri della funzione ζ che compare nella formula è reale e generalmente molto minore di Li(sqrt(x)) / 2, ma occasionalmente gli addendi si combinano in modo da dare una somma maggiore del secondo termine, rendendo π(x) maggiore di Li(x). Il motivo per il quale π(x) può essere maggiore di Li(x) solo per x molto grande è che servono varie centinaia di termini della somma per pareggiare il termine negativo, tutti con lo stesso segno, perché si sommino invece di cancellarsi a vicenda, e questo può succedere solo per x molto grande.

 

Nel 1933 il matematico sudafricano Samuel Skewes (1899 – 1988), supponendo vera l’ipotesi di Riemann, dimostrò che il primo cambiamento di segno di π(n) – Li(n) avviene entro circa n = 10101034, numero che da allora prese il nome di “numero di Skewes”, spesso chiamato anche “primo numero di Skewes”, per distringuelo da un altro, utilizzato dallo stesso Skewes in seguito. Per la precisione, Skewes dimostrò che il cambiamento deve avvenire prima di eee79, ma la costante si trova più comunemente in notazione “quasi decimale”.

 

Alcuni prefericono chiamare “numero di Skewes” il minimo intero n tale che π(n) > Li(n); con questa definizione conosciamo solo limiti inferiori e superiori per il numero.

 

Nel 1937 lo stesso Skewes trovò una dimostrazione che non dipendeva da congetture non dimostrate, anche se il nuovo limite, pari a eeee79 ≈ 1010101029 era spaventosamente maggiore del precedente.

 

Nel 1955 sempre Skewes, supponendo falsa l’ipotesi di Riemann, stabilì un nuovo limite, talvolta chiamato “secondo numero di Skewes” uguale a eeee7.705 ≈ 101010964 e quindi ridusse il limite indipendente da congetture a questo valore, dato che un limite inferiore era stato dimostrato supponendo vera l’ipotesi di Riemann.

 

Nel 1966 Lehman dimostrò che tra 1.53 • 101165 e 1.65 • 101165 vi sono almeno 10500 interi consecutivi n tali che π(n) > Li(n), togliendo ogni importanza pratica al limite superiore originale di Skewes.

 

Nel 1987 H.J.J. te Riele dimostrò che la differenza π(n) – Li(n) deve cambiare segno entro e^e^(27 / 4) e in particolare che tra 6.62 • 10370 e 6.69 • 10370 vi sono almeno 10180 interi consecutivi per i quali è positiva.

 

Carter Bays and Richard H. Hudson dimostrarono nel 2000 che tra e727.95009 ≈ 1.3954272125 • 10316 e e727.95409 ≈ 1.4010200996 • 10316 vi sono almeno 10153 interi consecutivi n tali che π(n) > Li(n).

Nel 2010 Chao e Plymen ridussero leggermente l’intervallo.

 

Nel 2005 P. Demichel dimostrò che tra e727.95132478 ≈ 1.3971513223 • 10316 e e727.95134682 ≈ 1.3971821159 • 10316 vi sono almeno 6.6587 • 10152 interi consecutivi n tali che π(n) > Li(n), che deve esserci un cambiamento di segno vicino a 1.397162914 · 10316 e che con ogni probabilità è il primo.

 

Nel 2010 Stefanie Zegowitz, dimostrò che il primo cambiamento di segno avviene per un intero inferiore a e727.951346801 ≈ 1.3971820893 • 10317, limite che può essere ridotto a e727.951338611 ≈ 1.3971706464 • 10316, supponendo vera l’ipotesi di Riemann.

 

Nella direzione opposta vari esperti stabilirono un limite minimo:

  • J.B. Rosser e L. Schoenfeld dimostrarono nel 1962 che non vi sono cambiamenti di segno fino a 108;

  • R.P. Brent nel 1975 portò il limite inferiore a 8 • 1010;

  • T. Kotnik nel 2008 lo portò a 1014;

  • Deléglise e Rivat lo aumentarono a 1018 e in seguito a 1020.

 

Nel 1941 A. Wintner dimostrò che gli interi n tali che π(n) < Li(n) sono una frazione positiva degli interi.

Nel 1994 M. Rubinstein e P. Sarnak dimostrarono che la frazione è circa 0.00000026, valore sorprendentemente granse, se consideriamo che non ne conosciamo neppure uno.

 

La caccia al primo cambiamento di segno è tuttora aperta.

 

Anche il numero di cambiamenti di segno di π(k) – Li(k) per k tra 1 e n è stato oggetto di ricerche:

  • S. Knapowski dimostrò nel 1962 è almeno e–35loglogloglogn, se n ≥ eeee35 ≈ 1010101015;

  • Jerzy Kaczorowski e Kazimierz Wiertelak dimostrarono nel 2009 che per n abbastanza grande tale numero è almeno clogn, per una costante c;

  • nel 2004 J.C. Schlage-Puchta dimostrò che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann, è maggiore di log(n) / e^e^16.7 – 1.

 

Esiste un analogo del numero di Skewes per i primi gemelli (nel senso di minimo intero per il quale una disuguaglianza cambi segno), sorprendentemente più facile da determinare.

Secondo una congettura di Hardy e Littlewood il numero π2(n) di coppie di primi gemelli minori di n tende a Limite asintotico per il numero di coppie di primi gemelli minori di n, dove C2 è la costante dei primi gemelli. Come nel caso dei primi, la stima è in eccesso per i primi valori di n.

Nel R.P. Brent scoprì che la differenza Differenza tra il numero di coppie di primi gemelli minori di n e la stima dello stesso cambia segno per la prima volta in corrispondenza della coppia di primi gemelli (1369391, 1369391).

Nel 2011 Marek Wolf scoprì che la differenza cambia segno 477118 volte per n < 248 = 281474976710656.

Bibliografia

  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.
  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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