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Algebrici (numeri)

Algebra 

Si chiamano “algebrici” i numeri reali e complessi che sono radici di equazioni polinomiali a coefficienti interi.

 

Applicando le quattro operazioni e l’estrazione di radice a numeri algebrici, si ottengono sempre numeri algebrici (tranne nel caso di divisioni per zero e radici di ordine pari di numeri negativi).

 

I numeri algebrici sono un’infinità numerabile, cioè possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i naturali, e, a partire dal quinto grado, non tutti possono essere espressi per mezzo di operazioni elementari ed estrazioni di radice (teorema di Abel).

 

Si chiama grado di un numero algebrico il minimo grado di un’equazione polinomiale a coefficienti interi della quale il numero è soluzione. Per esempio, Radice cubica di 2 è di grado 3, perché è soluzione dell’equazione x3 = 2 e di nessuna equazione di grado inferiore a coefficienti interi.

I numeri razionali (e solo questi) sono pertanto algebrici di grado 1, perché a diviso b è soluzione dell’equazione ax = b.

I numeri irrazionali e i numeri complessi con parte immaginaria diversa da zero sono algebrici di grado maggiore di uno o trascendenti.

 

Se α uguale m diviso n per π, con m e n interi, sinα e cosα sono algebrici di grado al massimo n (e quindi anche tanα, se non è infinito). In altre parole sono numeri algebrici i valori delle funzioni trigonometriche di angoli esprimibili in gradi come numeri razionali. Il loro grado è maggiore di 1, con le sole eccezioni degli angoli per i quali seno o coseno valgono 0, 1 o Un mezzo. Per angoli minori di π mezzi, ossia 90 gradi i soli valori di grado 1 sono quindi: sin0 = sin0° = 0, cos0 = cos0° = 1, tan0 = tan0° = 0, Seno di π sesti, ossia 30 gradi, uguale a un mezzoCoseno di π terzi, ossia 60 gradi, uguale a un mezzo e Tangente di π mezzi, ossia 45 gradi, uguale a uno.

 

Se α è algebrico, il teorema di Thue – Siegel – Roth assicura che per qualsiasi ε maggiore di zero vi è al massimo un numero finito di coppie di interi a e b primi tra loro tali che Formula per il teorema di Thue – Siegel – Roth (v. numeri di Liouville).

 

Un teorema dimostrato da Dirichlet assicura comunque che anche i numeri algebrici si possono approssimare “abbastanza bene” con numeri razionali, anzi se ne possono approssimare simultaneamente tanti con frazioni con lo stesso denominatore; il teorema, infatti, afferma che dati k numeri irrazionali α1, α2, … αk e un intero positivo n, esistono interi p1, p2, … pk e q, tali che 0 < qnFormula per il teorema di Dirichlet per m da 1 a k.

Bibliografia

  • Niven, Ivan;  Rational and Irrational, The Mathematical Association of America, 1961.

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