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Cullen generalizzati (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Cullen generalizzati” i numeri naturali della forma nkn + 1, con n > k – 2; per k = 2 abbiamo i numeri di Cullen. Si chiamano “primi di Cullen generalizzati” i numeri di questa forma che sono anche primi

La ragione della restrizione su n è semplice: se la eliminiamo, ogni intero positivo m diviene un numero di Cullen generalizzato, perché m = 1(m – 1)1 + 1 e ogni primo diviene un primo di Cullen generalizzato.

 

La definizione comprende anche i casi in cui n è un multiplo di k, allargando non poco l’insieme: 669 • 2128545 + 1 non sarebbe un primo di Cullen generalizzato, scritto in questa forma, ma può essere riscritto come 42816 • 842816 + 1 e pertanto è un primo di Cullen generalizzato.

 

Il massimo primo di Cullen generalizzato noto è 427194 • 113427194 + 1 (Ricky L. Hubbard, 2012).

 

La tabella seguente mostra i primi di Cullen generalizzati noti per k fino a 20.

k

Valori di n tali che nkn + 1 sia primo

Limite della ricerca

3

2, 8, 32, 54, 114, 414, 1400, 1850, 2848, 4874, 7268, 19290, 337590

773235

4

1, 3, 7, 33, 67, 223, 663, 912, 1383, 3777, 3972, 10669, 48375

250000

5

1242, 18390

379575

6

1, 2, 91, 185, 387, 488, 747, 800, 9901, 10115, 12043, 13118, 30981, 51496

200000

7

34, 1980, 9898

255681

8

5, 17, 23, 1911, 20855, 35945, 42816

166666

9

2, 12382, 27608, 31330, 117852

222431

10

1, 3, 9, 21, 363, 2161, 4839, 49521, 105994, 207777

260654

11

10

214125

12

1, 8, 247, 3610, 4775, 19789, 187895

254519

13

Nessuno noto

1000000

14

3, 5, 6, 9, 33, 45, 243, 252, 1798, 2429, 5686, 12509, 42545

210135

15

8, 14, 44, 154, 274, 694, 17426, 59430

136149

16

1, 3, 55, 81, 223, 1227, 3012, 3301

125000

17

19650

169029

18

1, 3, 21, 23, 842, 1683, 3401, 16839, 49963, 60239, 150940, 155928

158679

19

6460

266187

20

3, 6207, 8076, 22356, 151456

182115

 

Bibliografia

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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