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Woodall generalizzati (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Woodall generalizzati” i numeri naturali della forma nkn – 1, con n > k – 2; per k = 2 abbiamo i numeri di Woodall. Si chiamano “primi di Woodall generalizzati” i numeri di questa forma che sono anche primi.

La ragione della restrizione su n è semplice: se la eliminassimo ogni intero positivo m diverrebbe un numero di Woodall generalizzato, perché m = 1(m + 1)1 – 1 e ogni primo diverrebbe un primo di Woodall generalizzato.

 

La definizione comprende anche i casi in cui n è un multiplo di k, allargando non poco l’insieme: 107 • 2858 – 1 non sarebbe un primo di Woodall generalizzato, scritto in questa forma, ma può essere riscritto come 428 • 4428 – 1 e pertanto è un primo di Woodall generalizzato.

 

Il massimo primo di Woodall generalizzato noto è 334310 • 211334310 – 1 (Bryan Koen, 2012).

 

La tabella mostra alcuni valori di n che producono primi di Woodall generalizzati e, per i vari k, il limite sino al quale sono stati verificati i valori di n (dal sito di Steven Harvey, http://harvey563.tripod.com).

k

Valori di n tali che nkn – 1 sia primo

Limite della ricerca

3

1, 2, 6, 10, 18, 40, 46, 86, 118, 170, 1172, 1698, 1810, 2268, 4338, 18362, 72662, 88392, 94110, 161538, 168660, 292340, 401208, 560750, 1035092

1058000

4

1, 2, 3, 5, 8, 14, 23, 63, 107, 132, 428, 530, 1137, 1973, 2000, 7064, 20747, 79574, 113570, 293912

608749

5

8, 14, 42, 384, 564, 4256, 6368, 21132, 27180, 96584

240000

6

1, 2, 3, 19, 20, 24, 34, 77, 107, 114, 122, 165, 530, 1999, 4359, 11842, 12059, 13802, 22855, 41679, 58185, 145359, 249987

250000

7

2, 18, 68, 84, 3812, 12380, 14838, 51582

350000

8

1, 2, 7, 12, 25, 44, 219, 252, 507, 1155, 2259, 2972, 4584, 12422, 13905, 75606

513000

9

10, 58, 264, 1568, 4198, 24500

250000

10

2, 3, 8, 11, 15, 39, 60, 72, 77, 117, 183, 252, 396, 1745, 2843, 4665, 5364

250000

11

2, 8, 252, 1184, 1308

500000

12

1, 6, 43, 175, 821, 910, 1157, 13748, 27032, 71761, 229918

249999

13

2, 6, 563528

570008

14

1, 3, 7, 98, 104, 128, 180, 834, 1633, 8000, 28538, 46605, 131941, 147684

250000

15

2, 10, 14, 2312, 16718, 26906, 27512, 41260, 45432, 162454, 217606

250000

16

167, 189, 639

500000

17

2, 18, 20, 38, 68, 3122, 3488, 39500

250000

18

1, 2, 6, 8, 10, 28, 30, 39, 45, 112, 348, 380, 458, 585, 17559, 38751, 43346, 46984, 92711

250000

19

12, 410, 33890, 91850, 146478, 189620

100000

20

1, 18, 44, 60, 80, 123, 429, 1166, 2065, 8774, 35340, 42968, 50312

200000

 

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

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