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Woodall (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Woodall” (talvolta detti anche “numeri di Cullen di seconda specie”) i numeri naturali della forma n2n – 1.

Sono così chiamati dopo che Herbert J. Woodall, insieme con Allan Joseph Champneys Cunningham (Delhi, 1842 – Londra 1928), li studiò nel 1917.

 

Un primo di Woodall è un numero di Woodall primo; sinora se ne conoscono solo 29, corrispondenti ai seguenti valori di n: 2, 3, 6, 30, 75, 81, 115, 123, 249, 362, 384, 462, 512, 751, 822, 5312 (Keller, 1984), 7755 (Keller, 1984), 9531 (Keller, 1984), 12379 (Keller, 1984), 15822 (Keller, 1987), 18885 (Keller, 1987), 22971 (Young, 1997), 23005 (Young, 1997), 98726 (Young, 1997), 143018 (Ballinger, 1998), 151023 (O’Hare, 1998), 667071 (Toplic, 2000), (M. RodenKirch, 2005) 1268979, 1467763, 2013992, 2367906, 3752948 (Matthew J. Thompson, 2007).

Nessun altro n < 6500000 produce primi di Woodall.

 

E’ stato dimostrato che quasi tutti i numeri di Woodall sono composti (Hiromi Suyama), ma non si sa ancora se i primi di Woodall siano infiniti.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Woodall fino a W20.

n

Wn

1

1

2

7

3

23

4

63

5

159

6

383

7

895

8

2047

9

4607

10

10239

11

22527

12

49151

13

106495

14

229375

15

491519

16

1048575

17

2228223

18

4718591

19

9961471

20

20971519

 

La loro particolare forma permette di determinarne a priori alcuni fattori primi; in particolare un primo p dispari divide Numero di Woodall divisibile per p, se il simbolo di Jacobi Simbolo di Jacobi (2 | p) è 1, ossia se 2 è un residuo quadratico modulo p, e divide Numero di Woodall divisibile per p altrimenti. Per esempio, 2 è un residuo quadratico modulo 17 e 17 divide W9, mentre 2 non è un residuo quadratico modulo 13 e 13 divide W19.

 

Nessun numero di Woodall è un numero di Proth.

 

La somma dei numeri di Woodall per n da 0 a k è (k – 1)2k + 1k + 2.

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