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Cubi centrati (numeri)

Numeri figurati 

I numeri cubi centrati sono i numeri di palline che possono essere disposte a formare cubi con una pallina al centro di ogni cubetto 2 × 2 × 2, in modo analogo ai quadrati centrati, come mostra la figura.

 

Raffigurazione dei numeri cubi centrati

 

 

L’n-esimo numero cubo centrato è la somma dei cubi di n e n– 1 ed è dato da Cn = n3 + (n – 1)3 = 2n3 – 3n2 + 3n – 1 = (2n – 1)(n2n + 1), per n > 0.

L’n-esimo numero cubo centrato è uguale a Pn + 4Pn – 1 + Pn – 2, dove Pn è l’n-esimo numero piramidale (I).

Ogni numero cubo centrato può essere espresso come somma di 12 numeri tetraedrici: Cn = Tn + 5Tn – 1 + 5Tn – 2 + Tn – 3.

 

Per le somme dei numeri cubi centrati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri cubi centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri cubi centrati;

Formula per la somma dei quadrati dei reciproci dei numeri cubi centrati;

Formula per la somma dei cubi dei reciproci dei numeri cubi centrati;

Formula per la somma delle quarte potenze dei reciproci dei numeri cubi centrati;

Formula per la somma delle quinte potenze dei reciproci dei numeri cubi centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri cubi centrati a segni alterni.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice per i numeri cubi centrati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice per i numeri cubi centrati.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri cubi centrati.

n

Cn

1

1

2

9

3

35

4

91

5

189

6

341

7

559

8

855

9

1241

10

1729

11

2331

12

3059

13

3925

14

4941

15

6119

16

7471

17

9009

18

10745

19

12691

20

14859

 

Probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 11 numeri cubi centrati; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 9 numeri cubi centrati, ma probabilmente ne bastano 6.

Sembrano esserci 4237 interi non rappresentabili come somma di 6 numeri cubi centrati, il massimo dei quali è 1376933; se ve ne sono altri, sono superiori a 109 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 61 = 35 + 2 • 9 + 8 • 1, 69 = 35 + 3 • 9 + 7 • 1 e 87 = 2 • 35 + 9 + 8 • 1 richiedono 11 addendi, solo 26, 34, 52, 60, 68, 78, 86, 248, 428 ne richiedono 10.

Dato che i numeri cubi centrati divisi per 18 danno resto 1, 9 o 17, 5 addendi sono necessari per tutti i numeri della forma 18n ± 5.

Qui trovate gli interi minori di 109 che richiedono più di 6 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri cubi centrati differenti sono in tutto 6305, da 2 a 31478.

 

Per cubi centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Nessun numero cubo centrato è primo.

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