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Piramidali (numeri) (I)

Numeri figurati 

I numeri piramidali sono i numeri di palline che si possono disporre a formare una piramide a base quadrata, con 1 pallina nello strato superiore, 4 nel secondo, 9 in quello sottostante, ecc., come mostra la figura seguente.

Raffigurazione dei numeri piramidali

Sono quindi numeri figurati.

 

L’n-esimo numero piramidale Pn è la somma dei primi n quadrati ed è dato da Formula per il calcolo dei numeri piramidali, formula già nota ad Archimede.

 

Come un quadrato può essere diviso in due triangoli lungo la diagonale (v. numeri triangolari), così una piramide può essere divisa in due tetraedri con un piano perpendicolare alla base e passante per due vertici opposti. Un numero piramidale è quindi la somma di due numeri tetraedrici consecutivi: Formula per il calcolo dei numeri piramidali, dove T'n è l’n-esimo numero tetraedrico.

Alcune altre formule che legano i numeri piramidali a quelli triangolari e tetraedrici:

  • Formula per il calcolo dei numeri piramidali;

  • Formula per il calcolo dei numeri piramidali;

  • Formula per il calcolo dei numeri piramidali;

  • Formula per il calcolo dei numeri piramidali;

  • Formula per il calcolo dei numeri piramidali.

 

Un ottaedro è formato da due piramidi a base quadrata unite per la base; l’equivalente costruzione con numeri figurati è On = Pn + Pn – 1, ovvero la somma di due numeri piramidali consecutivi è un numero ottaedrico.

 

Il numero di quadrati diversi che possono essere ritagliati da una scacchiera n × n senza tagliare le caselle è Pn.

 

Gli unici numeri piramidali e quadrati sono 1 = P1 = 12 e 4900 = P24 = 702, come suppose Lucas nel 1875 e G.N. Watson dimostrò nel 1918.

 

Un numero piramidale maggiore di 1 non può essere un cubo, una quarta o una quinta potenza (Moret-Blanc, 1881). Michael A. Bennett, Kálmán Györy e Ákos Pintér dimostrarono nel 2004 che non può essere una qualsiasi potenza maggiore di 1, tranne nel caso citato.

 

A parte 1, nessun numero piramidale è tetraedrico (F. Beukers, 1988).

 

Gli unici numeri sia piramidali che triangolari sono 1 = P1 = T1, 55 = P10 = T5, 91 = P6 = T13 e 208335 = P85 = T645.

 

La somma di numeri piramidali consecutivi a partire da 1 non può essere il doppio, il triplo o il sestuplo di un quadrato (Moret-Blanc, 1881).

 

Per le somme dei numeri piramidali e dei loro reciproci valgono le formule seguenti, nelle quali C è la costante di Catalan:

Formula per la somma di numeri piramidali;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri piramidali;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri piramidali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri piramidali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri piramidali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri piramidali a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri piramidali a segni alternati.

 

La funzione generatrice dei numeri piramidali è Funzione generatrice dei numeri piramidali e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri piramidali.

 

La tabella seguente mostra i numeri piramidali fino a P20.

n

Pn

1

1

2

5

3

14

4

30

5

55

6

91

7

140

8

204

9

285

10

385

11

506

12

650

13

819

14

1015

15

1240

16

1496

17

1785

18

2109

19

2470

20

2870

 

K.C. Jang dimostrò nel 1928 che ogni intero positivo si può esprimere come somma di 9 numeri piramidali, ma molto probabilmente ne bastano 6. R.D. James dimostrò nel 1934 che bastano 8 addendi per numeri abbastanza grandi, ma probabilmente ne bastano 4.

Probabilmente vi sono solo 5983 interi non esprimibili come somma di 4 numeri piramidali, il massimo dei quali è 39606557. Se ve ne sono altri, sono maggiori di 1010 (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi, solo 23, 27, 53, 78, 81, 82, 158, 277, 284, 307, 361, 362, 367, 403, 488, 813, 872 e 908 richiedono 6 addendi.

Qui trovate gli interi minori di 1010 che richiedono più di 4 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri piramidali differenti sono in tutto 37: 2, 3, 4, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 17, 18, 21, 22, 25, 26, 27, 32, 33, 34, 41, 46, 47, 48, 51, 52, 57, 62, 63, 64, 65, 66, 71, 76, 77, 80.

 

Per numeri piramidali appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

L’unico numero primo tra i numeri piramidali è P2 = 5.

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