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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Applicazioni in matematica combinatoria
  3. 3. Formule
  4. 4. Valori

I numeri di Catalan sono così chiamati in onore Eugène Charles Catalan (Bruges, 30/5/1814 – Liegi, 14/2/1894). Sono talvolta detti anche “numeri di Segner”, in onore di Johann Andreas Segner (Bratislava, allora Ungheria, oggi Slovacchia, 9/10/1704 – Halle, Germania, 5/10/1777).

Sono comunemente indicati con Cn e spesso chiamati “numeri catalani”, termine un po’ improprio, perché suggerisce un (inesistente) legame con la Catalogna.

 

Catalan definì questi numeri nel risolvere il problema di contare il numero di modi per inserire parentesi in una somma di n addendi (noto come “problema di Catalan”), ma non fu il primo a studiarli: Eulero, Binet e Segner avevano già affrontato e risolto il problema di calcolare il numero di modi differenti nei quali si può dividere in triangoli un poligono convesso di n lati, tracciando diagonali che non si intersecano,arrivando alla stessa sequenza.

 

Solo recentemente si è scoperto (almeno in Occidente) che il matematico, astronomo e topografo mongolo Mingantu (nome completo Sharabiin Myangat, circa 1692 – 1763) aveva utilizzato questi numeri quando iniziò a scrivere il suo libro Ge Yuan Mi Lu Jie Fa (Il metodo rapido per ottenere il rapporto preciso di divisione di un cerchio) nel 1730. Il libro fu però completato dall’allievo Chen Jixin nel 1774 e pubblicato solo 60 anni dopo.

Come tardivo riconoscimento ai meriti del matematico che per primo introdusse in Cina le serie infinite e diede un apporto decisivo al primo atlante della Cina redatto con metodi scientifici, il 26/5/2002 gli fu intitolato un pianetino (28242 Mingantu, nella fascia di asteroidi tra Marte e Giove) e la sua città natale cambiò il nome in “città di Mingantu”.

 

Tra le proprietà interessanti, Cn è dispari se e solo se n è una potenza di 2 meno 1. In tal caso l’ultima cifra è 5, a meno che la rappresentazione in base 5 di 2n – 1 richieda solo le cifre 0, 1 e 2; questo capita solo per n uguale a 1, 3, 5, 7 e 8 (per esempio, 28 – 1 = 255 = 20105) e nessun altro valore inferiore a 100000. Dato che all’aumentare di n diviene sempre meno probabile che la rappresentazione in base 5 non utilizzi 3 e 4, è molto probabile che i casi riportati siano gli unici.

 

Emeric Deutsch e Bruce E. Sagan dimostrarono nel 2004 che la massima potenza di 2 che divide Cn ha per esponente il numero di 1 nella rappresentazione binaria di n + 1 meno uno. Per esempio, nella rappresentazione binaria di 11 ci sono 3 cifre 1, e la massima potenza di 2 che divide C10 = 16796 è 4, che ha esponente 3 – 2 = 1.

 

Emeric Deutsch e Bruce E. Sagan dimostrarono nel 2004 che Cn ≡ (–1)d(n + 1) mod 3, dove d(n) è il numero di cifre 1 nella rappresentazione in base 3 di n, escludendo la cifra meno significativa, se n = 3k – 1 e k si rappresenta in base 3 senza cifre 2, a parte la cifra meno significativa; Cn ≡ 0 mod 3 altrimenti.

 

Tutti i divisori primi di Cn sono minori di 2n, ma Cn > 2n – 1 per n > 4, quindi C3 = 5 è l’unico numero di Catalan primo.

Il massimo primo noto tra i numeri della forma Cn – 1 è C5885 – 1.

 

Nel 2013 Sara Checcoli e Michele d’Adderio dimostrarono che nessun numero di Catalan maggiore di 1 è una potenza.

 

Un numero di Catalan Cn può essere espresso come somma di Il massimo intero non superiore a (n + 1) / 2 quadrati (T. Koshy, 2009). Per esempio, C5 = 42 = 52 + 42 + 12 e C6 = 132 = 102 + 42 + 42.

 

Una matrice di Hankel è una matrice che ha tutti gli elementi su ogni diagonale perpendicolare alla diagonale principale uguali tra loro; se si prende Cm + n – 2 come elemento di indici m e n, si ottiene una matrice che ha determinante 1, indipendentemente dalla dimensione. Per esempio, Determinante di una matrice di Hankel contenente numeri di Catalan.

Il determinante resta 1 anche se come elemento di indici m e n si prende Cm + n – 1, come nell’esempio seguente: Determinante di una matrice di Hankel contenente numeri di Catalan.

Se come elemento minimo si prende Ct, ossia si prende Cm + n – 2 + t come elemento di indici m e n, una matrice di ordine k ha determinante Determinante di una matrice di Hankel contenente numeri di Catalan (Desainte, Catherine, Viennot, 1986). Per esempio, per t = 4 abbiamo la matrice Matrice di Hankel contenente numeri di Catalan che ha determinante Determinante di una matrice di Hankel contenente numeri di Catalan.

Se si prende Cm + n – 2 + Cm + n – 1 come elemento di indici m e n, la matrice ha determinante F2n + 1. Per esempio, Determinante di una matrice di Hankel contenente somme di numeri di Catalan (Cvetković, Rajković e Ivković, 2002).

Se si prende Cm + n – 1 + Cm + n come elemento di indici m e n, la matrice ha determinante F2n + 2. Per esempio, Determinante di una matrice di Hankel contenente somme di numeri di Catalan (Cvetković, Rajković e Ivković, 2002).

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p > 5 esista un primo q ≤ (p – 1) / 2 tale che Cq mod p sia una radice primitiva di p.

Bibliografia

  • Conway, John Horton;  Guy, Richard K.;  The Book of Numbers, New York, Springer-Verlag, 1996.
  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 99, novembre 1976, pag. 112 – 119.
  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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