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Primi di Ramanujan

Teoria dei numeri 

Ramanujan dimostrò che per ogni intero positivo n esiste un numero Rn tale che vi siano almeno n primi tra k e 2k per k > Rn e più precisamente che Limite inferiore per π(x) – π(x / 2), per x > 300.

I primi di Ramanujan sono i minimi valori di Rn (necessariamente primi) tali che per xRn, π(x) – π(x / 2) ≥ n. Per esempio, R2 = 11, perché π(11) – π(11 / 2) ≥ 2 e la stessa proprietà vale per ogni intero superiore a 11, ma non per 10.

In altri termini vi sono sempre almeno n primi tra x / 2 e x, se x ≥ Rn.

Il postulato di Bertrand equivale all’affermazione che R1 = 2.

 

I primi di Ramanujan minori di 1000 sono: 2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, 503, 569, 571, 587, 593, 599, 601, 607, 641, 643, 647, 653, 659, 677, 719, 727, 739, 751, 769, 809, 821, 823, 827, 853, 857, 881, 937, 941, 947, 967, 983.

Qui trovate i primi di Ramanujan minori di 106.

 

I primi di Ramanujan dispari p hanno la proprietà che se q è il minimo primo maggiore di p / 2, c’è almeno un primo compreso tra p e 2q (Vladimir Shevelev, 2011); i primi con la stessa proprietà, ma che non sono di Ramanujan, sono i primi pseudo-Ramanujan.

 

Jonathan Sondow dimostrò che:

  • i primi di Ramanujan soddisfano le disuguaglianze 2nlog(2n) < Rn < 4nlog(4n) e p2n < Rn < p4n, per n > 1;

  • Limite di R(n) / p(2 *n) = 1, quindi asintoticamente poco meno della metà dei primi sono primi di Ramanujan;

  • π(p(3 * n)) – π(p(3 * n) / 2) > n.

 

Sondow suppose che:

  • esistano sequenze arbitrariamente lunghe di primi di Ramanujan e di primi non di Ramanujan;

  • esistano infinite coppie di primi gemelli di Ramanujan e infinite coppie di primi gemelli non di Ramanujan; le minime coppie di primi gemelli di Ramanujan sono (R14 = 149, R15 = 151) e (R17 = 179, R18 = 181);

  • Rn < p3n; Shanta Laishram dimostrò questa affermazione nel 2009.

 

La tabella seguente mostra il minimo numero primo della minima sequenza di n primi di Ramanujan e di n primi non di Ramanujan consecutivi, per i primi valori di n (Dana Jacobsen e T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Primi di Ramanujan

Primi non di Ramanujan

1

2

3

2

67

3

3

227

3

4

227

73

5

227

191

6

2657

191

7

2657

509

8

2657

2539

9

2657

2539

10

2657

5279

11

2657

9901

12

2657

9901

13

2657

9901

14

562871

11593

15

793487

11593

16

809707

55343

17

809707

55343

18

984241

55343

19

984241

55343

20

984241

55343

21

6234619

174929

22

11652013

174929

23

41662651

174929

24

41662651

225977

25

41662651

225977

26

94653397

225977

27

383825567

225977

28

869730887

225977

29

953913871

534889

30

953913871

534889

31

953913871

534889

32

1673613343

534889

33

1673613343

534889

34

4601885107

534889

35

4601885107

534889

36

4601885107

534889

37

4601885107

2492317

38

4601885107

2492317

39

4601885107

2492317

40

4601885107

5409353

41

11675870753

5409353

42

11675870753

5409353

43

 

5409353

44

 

5409353

45

 

5409353

46

 

5409353

47

 

5409353

48

 

130449793

49

 

130449793

50

 

141833609

51

 

212583803

52

 

212583803

53

 

212583803

54

 

212583803

55

 

212583803

56

 

212583803

57

 

212583803

58

 

212583803

59

 

212583803

60

 

212583803

61

 

212583803

62

 

212583803

63

 

212583803

64

 

212583803

65

 

658046923

66

 

1183597127

67

 

1183597127

68

 

2897211991

69

 

2897211991

70

 

2897211991

71

 

2897211991

72

 

2897211991

73

 

2897211991

74

 

2897211991

75

 

2897211991

76

 

2897211991

77

 

2897211991

78

 

2897211991

79

 

2897211991

80

 

5602581289

81

 

5602581289

82

 

5602581289

83

 

46992178559

84

 

46992178559

85

 

70637059313

86

 

70637059313

87

 

70637059313

88

 

70637059313

89

 

158465541061

90

 

182591976719

91

 

182591976719

92

 

182591976719

93

 

182591976719

94

 

182591976719

95

 

182591976719

96

 

182591976719

97

 

339683208889

98

 

339683208889

99

 

339683208889

100

 

339683208889

101

 

339683208889

102

 

339683208889

103

 

339683208889

104

 

339683208889

105

 

339683208889

106

 

339683208889

107

 

339683208889

 

Nel 2011 Jonathan Sondow, John W. Nicholson e Tony D. Noe dimostrarono che:

  • se p è un primo di Ramanujan dispari, (p + 1) / 2 è composto;

  • se tutti i primi da p a q sono primi di Ramanujan dispari, non vi sono primi tra (p + 1) / 2 e (q + 1) / 2;

  • il massimo del rapporto R(n) / p(3 * n) si ha per R(5) / p(15);

  • condizione necessaria, ma non sufficiente, perché due primi gemelli p e q = p + 2 siano primi di Ramanujan è che π(p) – π(p / 2) + 1 ≥ π(q) – π(q / 2); se due primi consecutivi p e q con q > p soddisfano questa condizione e q è un primo di Ramanujan, anche p lo è;

  • se il maggiore di una coppia di primi gemelli è un primo di Ramanujan, lo è anche il minore.

 

Nel 2014 Christian Axler dimostrò che Limite superiore per R(n).

Nel 2015 Anitha Srinivasan e John W. Nicholson migliorarono il limite superiore, dimostrando che Rn < pa(n), dove Formula per a(n), per n > 241.

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