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Ramanujan (numeri di) (I)

Teoria dei numeri 

Il nome dei numeri di Ramanujan è legato a un famoso aneddoto sulla vita di Srinivasa Ramanujan (Erode, India, 22/12/1887 – Kumbakonam, India, 26/4/1920).

Quando era in ospedale a Putney, gravemente malato di tubercolosi, l’amico e collega Hardy andò a trovarlo e, per iniziare la conversazione, disse che aveva notato che il numero del taxi che l’aveva trasportato era 1729, un numero poco interessante.

“No, no, Hardy”, fu la pronta risposta di Ramanujan, “è il minimo numero naturale che possa essere espresso come somma di due cubi in due modi diversi.”

Infatti, 1729 = 103 + 93 = 123 + 13.

Da allora i numeri con questa proprietà sono detti “numeri di Ramanujan” o “numeri di Hardy – Ramanujan” o talvolta “numeri di taxi”.

 

In “millesettecentoventinove” (Le Scienze, n. 445, settembre 2005) Odifreddi solleva un piccolo dubbio sull’aneddoto: 1729 è il terzo numero di Carmichael, proprietà che doveva essere ben nota tanto a Hardy quanto a Ramanujan, quindi sembra strano che Hardy si riferisse a tale numero come “poco interessante”. E’ però possibile che il matematico inglese volesse stuzzicare il collega a proposito dei numeri di Carmichael, ma abbia invece ricevuto una risposta assolutamente inattesa.

 

La proprietà di 1729 era già stata notata da Bernard Frénicle de Bessy (Parigi, 1605 – 17/1/1675) nel 1657.

 

Ramanujan trovò due formule capaci di produrre infiniti numeri del genere, ma non tutti:

  • (a + cd2)3 + (bd + c)3 = (ad + c)3 + (b + cd2)3, se a2 + ab + b2 = 3cd2;

  • (a2 + 7ab – 9b2)3 + (2a2 – 4ab + 12b2)3 = (2a2 + 10b2)3 + (a2 – 9abb2)3.

La prima richiede di trovare quattro interi che soddisfino la condizione, la seconda produce soluzioni per qualsiasi valore intero di a, b e c, ma può produrre soluzioni con valori negativi.

 

Hardy e Wright dimostrarono nel 1938 che per ogni n esistono infiniti interi che possono essere espressi come somma di due cubi in n modi differenti. I due matematici dimostrarono, infatti, che a partire da una soluzione con n modi, se ne può generare una con n + 1; dato che sappiamo che esistono infinite soluzioni senza divisori comuni per n = 2, abbiamo infinite soluzioni per ogni valore di n. La dimostrazione è costruttiva, ma al crescere di n produce rapidamente soluzioni con numeri enormi; resta quindi il problema di trovare la soluzione minima per ogni n, cosa che richiede un grande sforzo computazionale.

Anche Fermat, del resto aveva dimostrato in modo analogo l’esistenza di infinite soluzioni; le due dimostrazioni fanno uso della teoria dei punti razionali sulle curve ellittiche, che Fermat non poteva conoscere, ma della quale aveva anticipato un risultato.

Da ogni soluzione se ne possono ricavare poi infinite altre, moltiplicando l’intero per un cubo e tutti i numeri che formano le rappresentazioni per la base del cubo. Per esempio, moltiplicando 1729 per 8 otteniamo la rappresentazione 13832 = 23 + 243 = 183 + 203.

 

I minimi esempi noti per n da 1 a 22 sono riportati nella tabella seguente.

n

Numero

1

2 = 13 + 13

2

1729 = 103 + 93 = 123 + 13 (Frénicle de Bessy, 1657)

3

87539319 = 1673 + 4363 = 2283 + 4233 = 2553 + 4143 (John Leech, 1957)

4

6963472309248 = 24213 + 190833 = 54363 + 189483 = 102003 + 180723 = 133223 + 166303 (Edwin Rosenstiel, John A. Dardis, Colin R. Rosenstiel, 1989)

5

48988659276962496 = 387873 + 3657573 = 1078393 + 3627533 = 2052923 + 3429523 = 2214243 + 3365883 = 2315183 + 3319543 (John A. Dardis, 1994)

6

24153319581254312065344 = 5821623 + 289062063 = 30641733 + 288948033 = 85192813 + 286574873 = 162180683 + 270932083 = 174924963 + 265904523 = 182899223 + 262243663; (Randall L. Rathbun, 2002, dimostrato minimo da Uwe Hollerbach, 2008)

7

24885189317885898975235988544 = 18472821223 + 26486609663 = 17667420963 + 26856356523 = 16380248683 + 27364140083 = 8604473813 + 28944061873 = 4595311283 + 29157349483 = 3094814733 + 29183751033 = 587983623 + 29195268063 (Christian Boyer, 2006)

8

50974398750539071400590819921724352 = 50974398750539071400590819921724352 = 583604532563 + 3702983383963 = 74673919743 + 3707799043623 = 393041470713 + 3706336380813 = 1092768173873 + 3675895857493 = 2080291582363 + 3475245790163 = 2243762461923 + 3410757278043 = 2346048294943 + 3363799426823 = 2888736628763 + 2995120635763 (Christian Boyer, 2006)

9

136897813798023990395783317207361432493888 = 416321768370643 + 401534391397643 = 467568120327983 + 326100712996663 = 474095261647563 + 311882982206883 = 483059164832243 + 289160529948043 = 510949524191113 + 151894776167933 = 514714690370443 + 81121030025843 = 515180756932593 + 54632764428693 = 515300421426563 + 40768778055883 = 515384067063183 + 10379674843863 (Christian Boyer, 2006)

10

7335345315241855602572782233444632535674275447104 = 156953306675731283 + 151378465556910283 = 176273181363648463 + 122939968799740823 = 178733913641130123 + 117579884291993763 = 182113305141754483 + 109013519790411083 = 192627970620048473 + 57264330615309613 = 194047438269655883 + 30582628319741683 = 194223145363586433 + 20596552189616133 = 194268258877813123 + 15369829327066763 = 194293797782705603 + 9040693335688843 = 194299793282818863 + 3913137416135223 (Christian Boyer, 2006)

11

87039729655193781808322993393446581825405320183232000 = 3810871947390695203 + 3164696860169452403 = 3857448118819750003 + 3094797527500296803 = 3906624587620536603 + 3015399922380354603 = 3921384572341891203 + 2990324063817308403 = 4262671112654354403 + 2124242099331097203 = 4268876164638521803 + 2098918779071387003 = 4281260384257682283 + 2046230836407477723 = 4386091334060511603 + 1385738567977629603 = 4396535077724790003 + 1271740005987796803 = 4431384598548551283 + 270894835986858723 = 4431719719738559433 + 51345101784000573 (Christian Boyer, Jaroslaw Wroblewski, 2008)

12

16119148654034302034428760115512552827992287460693283776000 = 217219701001269626403 + 180387721029658786803 = 219874542772725750003 + 176403459067516917603 = 222677601494370586203 + 171877795575680212203 = 223518920623487798403 + 170448471637586578803 = 242972253421298200803 + 121081799661872540403 = 243325941384395742603 + 119638370407069059003 = 244031841902687889963 + 116635157675226230043 = 250007206041449161203 + 78987098374724887203 = 250602499430313030003 + 72489180341304417603 = 252588922117267422963 + 15441005651250947043 = 252605759143391180803 + 7711805464856620403 = 252608024025097887513 + 2926670801688032493 (Christian Boyer, Jaroslaw Wroblewski, 2008)

13

98785992977316717572070208794037178343163969803121800608526912000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

14

6181115942163278484307116174514304039670628856329988877227399275142976000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

15

786630615595626829796137755567437844038832146564530660386728812791938555036352000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

16

1407430328457240141244921568479580896498768360005757901394557724136294559835243494681088000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

17

108883358434560363503260016942467566965657808716401027019007732065428469239764403684536752685040128000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

18

32704115261272222010108668321371490956498583891096244871994833214348230808345220932546725287574509356813791744000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

19

89155799373431424956779039683208074195259067508030416952016859893056008200986665364956362114476625742414288155368000000000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

20

6897380753715950027554119762858815120976857451913869723850868496922922856256366585322070924221550029921862628606999892276808000000000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

21

108017480260055891349349434078007118409816211596074421874782013152781209964290521967447172971431469705047741717793222992124981940703226072000000000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

22

4680247859298792255465896583920257161776853980641720488623945439873944558056759119053262369879441902130153472288312996410513410535472957059046536164424000000000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

 

Per n sino a 6 i numeri riportati sono stati dimostrati essere i minimi possibili; per valori di n maggiori non è stato dimostrato che il valore riportato sia il minimo, anzi, in molti casi è poco probabile che lo sia.

 

La tabella seguente mostra i numeri minori di 106 esprimibili come somma di due cubi in almeno 2 modi differenti (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Sono riportate solo le combinazioni primitive, cioè senza un divisore comune a tutti i numeri.

Numero

Rappresentazioni

 

Prima

Seconda

1729

13 + 123

93 + 103

4104

23 + 163

93 + 153

20683

103 + 273

193 + 243

39312

23 + 343

153 + 333

40033

93 + 343

163 + 333

64232

173 + 393

263 + 363

65728

123 + 403

313 + 333

134379

123 + 513

383 + 433

149389

83 + 533

293 + 503

171288

173 + 553

243 + 543

195841

93 + 583

223 + 573

216027

33 + 603

223 + 593

327763

303 + 673

513 + 583

402597

423 + 693

563 + 613

439101

53 + 763

483 + 693

443889

173 + 763

383 + 733

515375

153 + 803

543 + 713

684019

513 + 823

643 + 753

704977

23 + 893

413 + 863

805688

113 + 933

303 + 923

842751

233 + 943

633 + 843

920673

203 + 973

333 + 963

955016

243 + 983

633 + 893

984067

353 + 983

593 + 923

994688

293 + 993

603 + 923

 

La tabella seguente mostra i numeri minori di 1015 esprimibili come somma di due cubi in almeno 4 modi differenti (Bill Butler, http://www.durangobill.com). Sono riportate solo le combinazioni primitive, cioè senza un divisore comune a tutti i numeri.

Numero

Rappresentazioni

 

Prima

Seconda

Terza

Quarta

6963472309248

133223 + 166303

102003 + 180723

54363 + 189483

24213 + 190833

12625136269928

129393 + 218693

103623 + 225803

70683 + 230663

42753 + 232373

21131226514944

171763 + 252323

117723 + 269163

86643 + 273603

15393 + 276453

26059452841000

219303 + 249403

145773 + 284233

129003 + 288103

41703 + 296203

74213505639000

327903 + 339003

208803 + 402303

203923 + 403583

58953 + 419853

95773976104625

356603 + 369453

309183 + 404573

278663 + 420093

220203 + 439853

159380205560856

344993 + 490933

316863 + 503403

84363 + 541503

46173 + 542073

174396242861568

432003 + 454323

366843 + 500043

311603 + 524323

40413 + 558633

300656502205416

428853 + 605313

301563 + 648903

190823 + 664723

105003 + 669063

376890885439488

392963 + 681283

274113 + 708933

155603 + 719923

111843 + 721443

521932420691227

576033 + 691603

462283 + 750753

325393 + 787023

4273 + 805143

573880096718136

482223 + 772923

402043 + 798383

166443 + 828783

77133 + 830793

809541767245176

653103 + 809763

555483 + 860943

419763 + 902703

303593 + 921133

926591497348608

769503 + 778023

605683 + 889763

305523 + 964803

54273 + 974853

 

La tabella seguente mostra i numeri minori di 1021 esprimibili come somma di due cubi in almeno 5 modi differenti (Bill Butler, http://www.durangobill.com). Sono riportate solo le combinazioni primitive, cioè senza un divisore comune a tutti i numeri.

Numero

Rappresentazioni

 

Prima

Seconda

Terza

Quarta

Quinta

48988659276962496

2315183 + 3319543

2214243 + 3365883

2052923 + 3429523

1078393 + 3627533

387873 + 3657573

490593422681271000

5792403 + 6666303

5431453 + 6912953

2851203 + 7760703

2337753 + 7817853

483693 + 7886313

6355491080314102272

14620503 + 14782383

11507923 + 16905443

7887243 + 18033723

5804883 + 18331203

1031133 + 18522153

27365551142421413376

18721843 + 27502883

12831483 + 29338443

9443763 + 29822403

2653923 + 30127923

1677513 + 30133053

47893568195858112000

28080003 + 29530803

23844603 + 32502603

20254003 + 34080803

10412043 + 36027963

2626653 + 36310953

55634997032869710456

22737333 + 35271393

19419843 + 36420783

16541363 + 37110703

13296363 + 37629903

6530223 + 38111523

68243313527087529096

26159853 + 36923913

18395163 + 39582903

11640023 + 40547923

6405003 + 40812663

1200693 + 40864833

265781191139199122625

49721603 + 52275853

38842653 + 59171703

25950333 + 62853423

24168903 + 63135453

10061453 + 64212403

276114357544758340608

45428023 + 56708303

34782003 + 61625523

18536763 + 64612683

8255613 + 65073033

5813843 + 65101843

343978135086713831424

38117123 + 66084163

31260483 + 67927683

26588673 + 68766213

15093203 + 69832243

10848483 + 69979683

357230299141507244544

54864003 + 57698643

46588683 + 63505083

39573203 + 66588643

33255903 + 68431143

5132073 + 70946013

461725779831883749000

59666103 + 62938203

53486553 + 67585053

34693653 + 74886753

26419643 + 76247863

2258103 + 77290203

572219233725765415608

57080523 + 72825903

53844753 + 74656773

49892643 + 76518543

40166703 + 79760523

31799183 + 81435763

653115573732974625000

51675753 + 80162253

44136003 + 82774503

41120523 + 83566983

37594003 + 84342503

30219003 + 85522503

794421645362287488000

64611703 + 80655503

49470003 + 87649203

26364603 + 91897803

14052463 + 92507543

11741853 + 92552553

 

La tabella seguente mostra i numeri minori di 1026 esprimibili come somma di due cubi in almeno 6 modi differenti (Bill Butler, http://www.durangobill.com). Sono riportate solo le combinazioni primitive, cioè senza un divisore comune a tutti i numeri.

Numero

Rappresentazioni

 

Prima

Seconda

Terza

Quarta

Quinta

Sesta

24153319581254312065344

182899223 + 262243663

174924963 + 265904523

162180683 + 270932083

85192813 + 286574873

30641733 + 288948033

5821623 + 289062063

100347536855722268443968

362042443 + 375375443

294027863 + 421581583

281208483 + 427466763

260720843 + 435549043

136955533 + 460696313

49259493 + 464511393

131564874138736741545024

321810023 + 461416063

307779363 + 467857323

285355883 + 476703283

149896213 + 504226673

53913933 + 508402233

40232363 + 508520323

869296828638589225875000

568433253 + 881784753

485496003 + 910519503

452325723 + 919236783

413534003 + 927767503

332409003 + 940747503

163255503 + 952788003

1317547017227852341749000

805143603 + 926615703

754971553 + 960900053

750738393 + 963491613

396316803 + 1078737303

324947253 + 1086681153

67232913 + 1096197093

8230545258248091551205888

1593634503 + 1611279423

1254363283 + 1842692963

859709163 + 1965675483

632731923 + 1998100803

177812643 + 2018570643

112393173 + 2018914353

18739897591304984193957312

1902434673 + 2280137493

1807729203 + 2341189083

1312406743 + 2544761423

733515363 + 2637390363

597274203 + 2646064083

18264243 + 2656168923

18823431000968427932175168

1683135863 + 2413305583

1609752483 + 2446994763

1492472843 + 2493261043

1264814743 + 2561160143

783989533 + 2637214313

281981493 + 2659053393

26287287319744419966543000

2183734803 + 2513195103

2047656653 + 2606182153

1250914303 + 2897654603

1074902403 + 2925783903

881331753 + 2947329453

182351133 + 2973138873

98104370901736427032896000

3566160003 + 3750411603

3028264203 + 4127830203

2572258003 + 4328261603

2161633503 + 4448024103

1322329083 + 4575550923

333584553 + 4611490653

 

Il metodo di Hardy e Wright per trovare numeri rappresentabili come somma di cubi in più modi diversi porta a rappresentazioni nelle quali molte coppie di cubi hanno un divisore in comune e di conseguenza a numeri multipli di cubi. Il minimo intero rappresentabile come somma di due cubi primi tra loro:

  • in 2 modi diversi è sempre 1729 = 93 + 103 = 13 + 123;

  • in 3 modi diversi è 15170835645 = 5173 + 24683 = 7093 + 24563 = 17333 + 21523 (Paul Vojta, 1983);

  • in 4 modi diversi è 1801049058342701083 = 922273 + 12165003 = 1366353 + 12161023 = 3419953 + 12076023 = 6002593 + 11658843 (Stuart Gascoigne e, indipendentemente, Duncan Moore, 1983).

Non è noto se esistano numeri rappresentabili come somma di due cubi primi tra loro in 5 o più modi.

 

I numeri noti rappresentabili in 3 modi diversi come somma di due cubi primi tra loro sono:

  • 15170835645 = 5173 + 24683 = 7093 + 24563 = 17333 + 21523;

  • 208438080643 = 17823 + 58753 = 37683 + 53713= 41743 + 51393;

  • 320465258659 = 19863 + 67873 = 23953 + 67443 = 52303 + 56193;

  • 1658465000647 = 34883 + 117353 = 52313 + 114863 = 71273 + 109043;

  • 3290217425101 = 40443 + 147733 = 49173 + 146923 = 86223 + 138373;

  • 3938530307257 = 30573 + 157543 = 52893 + 155923 = 107323 + 139293;

  • 7169838686017 = 61403 + 190733 = 85853 + 186983 = 99293 + 183623;

  • 13112542594333 = 1983 + 235813 = 22693 + 235743 = 116023 + 226053;

  • 24641518275703 = 36873 + 290803 = 45753 + 290623 = 150393 + 276943;

  • 36592635038993 = 104573 + 328503 = 153263 + 320733 = 221933 + 294963;

  • 36848138663889 = 65183 + 331933 = 253423 + 274013 = 256253 + 271543;

  • 41332017729268 = 1573 + 345753 = 192733 + 324513 = 206793 + 319093;

  • 74051580874005 = 57583 + 419573 = 173543 + 409813 = 259973 + 383683.

 

Una generalizzazione è ammettere l’uso di numeri negativi, ossia considerare la sottrazioni di cubi, oltre all’addizione.

La tabella seguente riporta i minimi numeri noti rappresentabili come somma o differenza di due cubi in n modi diversi per n da 1 a 42.

n

Numero

2

91 = 33 + 43 = 63 – 53 (François Viète e, indipendentemente, Pietro Bongo, entrambi nel 1591)

3

728 = 63 + 83 = 93 – 13 = 123 – 103 (Edward B. Escott, 1902)

4

2741256 = 1083 + 1143 = 1403 – 143 = 1683 – 1263 = 2073 – 1833 (Randall L. Rathbun, 1992)

5

6017193 = 1663 + 1133 = 1803 + 573 = 1853 – 683 = 2093 – 1463 = 2463 – 2073 (Randall L. Rathbun, 1992)

6

1412774811 = 9633 + 8043 = 11343 – 3573 = 11553 – 5043 = 12463 – 8053 = 21153 – 20043 = 47463 – 47253 (Randall L. Rathbun, 1992)

7

11302198488 = 19263 + 16083 = 19393 + 15893 = 22683 – 7143 = 23103 – 10083 = 24923 – 16103 = 42303 – 40083 = 94923 – 94503 (Randall L. Rathbun, 1992)

8

137513849003496 = 229443 + 500583 = 365473 + 445973 = 369843 + 442983 = 521643 – 164223 = 531303 – 231843 = 573163 – 370303 = 972903 – 921843 = 2183163 – 2173503 (Daniel. J. Bernstein, 1998)

9

424910390480793000 = 6452103 + 5386803 = 6495653 + 5323153 = 7524093 – 1014093 = 7597803 – 2391903 = 7738503 – 3376803 = 8348203 – 5393503 = 14170503 – 13426803 = 31798203 – 31657503 = 59600103 – 59560203 (Duncan Moore, 2005)

10

933528127886302221000 = 70028403 + 83877303 = 69200953 + 84443453 = 774801303 – 774282603 = 413376603 – 411547503 = 184216503 – 174548403 = 108526603 – 70115503 = 100600503 – 43898403 = 98771403 – 31094703 = 97813173 – 13183173 = 97733303 – 845603 (Christian Boyer, 2006, dimostrato minimo da Uwe Hollerbach, 2008)

11

261858398098545372249216 = 554852343 + 449861583 = 576923973 + 411803073 = 604335063 + 345221103 = 633133643 + 200511883 = 639859503 – 48344943 = 642703323 – 153566283 = 646495083 – 202859163 = 747247563 – 537617403 = 844624533 – 698424213 = 7329742923 – 7328117883 = 8425470063 – 8424240303 (Duncan Moore, 2008)

12

1796086752557922708257372544 = 10542194463 + 8547370023 = 10961555433 + 7824258333 = 11482366143 + 6559200903 = 12029539163 + 3809725723 = 12157330503 – 918553863 = 12211363083 – 2917759323 = 12283406523 – 3854324043 = 14197703643 – 10214730603 = 16047866073 – 13270059993 = 74208264123 – 74099386443 = 139265115483 – 139234239723 = 160083931143 – 160060565703 (Duncan Moore, 2008)

13

308110458144384714689809795584 = 57138124683 + 49538132283 = 67538953443 + 3135661203 = 67557547983 – 6070435023 = 67970841123 – 18087254643 = 69033707193 – 27536685753 = 75953863443 – 50666616003 = 78017969123 – 55043446643 = 78818103003 – 56621761563 = 96588994323 – 84014461443 = 136319863683 – 130552596723 = 184159989003 – 181080511563 = 216634328823 – 214423421943 = 280562755203 – 279251896563 (Christian Boyer, Jaroslaw Wroblewski, 2008)

14

3424462108508996825708504669331456 = 1307232113043 + 1059873882483 = 1359232873323 + 970208032923 = 1423813401363 + 813340911603 = 1491662855843 + 472405989283 = 1507508982003 – 113900678643 = 1514209021923 – 361802155683 = 1523142408483 – 477936180963 = 1540468855803 – 613702043643 = 1760515251363 – 1266626594403 = 1867778928093 – 1456760810973 = 1989935392683 – 1645487438763 = 9201824750883 – 9188323918563 = 17268874319523 – 17265045725283 = 19850407461363 – 19847510146803 (Duncan Moore, 2008)

15

119860206095954108554485737248700928 = 4171083101643 + 3616283656443 = 4376727051843 + 3302561892243 = 4930343601123 + 228903267603 = 4931701002543 – 443141756463 = 4961871401763 – 1320369588723 = 5039460624873 – 2010178059753 = 5092807547883 – 2303985401643 = 5544632031123 – 3698662968003 = 5695311745763 – 4018171604723 = 5753721519003 – 4133388593883 = 7050996585363 – 6133055685123 = 9951350048643 – 9530339560563 = 13443679197003 – 13218877343883 = 15814306003863 – 15652909801623 = 20481081129603 – 20385388448883 (Christian Boyer, Jaroslaw Wroblewski, 2008)

16

822121153612149230575217671788839665152 = 79250578931163 + 68709389472363 = 83157813984963 + 62748675952563 = 93676528421283 + 4349162084403 = 93702319048263 – 8419693372743 = 94275556633443 – 25087022185683 = 95749751872533 – 38193383135253 = 96763343409723 – 43775722631163 = 105348008591283 – 70274596392003 = 108210923169443 – 76345260489683 = 109320708861003 – 78534383283723 = 133968935121843 – 116528058017283 = 189075650924163 – 181076451650643 = 189558264987003 – 181602462033723 = 255429904743003 – 251158669533723 = 300471814073343 – 297405286230783 = 389140541462403 – 387322380528723 (Christian Boyer, 2008)

17

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3149142077181487616312021216138314642883563770537891866551971238250279944301684221719024700073356093651443986565567788111005618548515951209809000000000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

42

91118671931109354089386048093144745150579831555493711552911618330792144782440256917328482199864617710460367896974186927733969742571777524870999551387000000000 (Christian Boyer e Jaroslaw Wroblewski, 2008)

 

Per n sino a 10 i numeri riportati sono stati dimostrati essere i minimi possibili; per valori di n maggiori non è stato dimostrato che il valore riportato sia il minimo anzi, in molti casi è poco probabile che lo sia.

 

Werebrusobv pubblicò nel una formula per trovare soluzioni con tre termini, usando i numeri negativi: se m2 + mn + n2 = 3a2bc, allora ((m + n)c + ab2)3 + (−(m + n)bac2)3 = (−mc + ab2)3 + (mbac2)3 = (−nc + ab2)3 + (nbac2)3.

 

Il minimo intero rappresentabile come somma di due cubi primi tra loro:

  • in 2 modi diversi è sempre 91 = 33 + 43 = 63 – 53;

  • in 3 modi diversi è 3367 = 153 − 23 = 163 − 93 = 343 − 333;

  • in 4 modi diversi è 16776487 = 583 + 2553 = 1833 + 2203 = 2563 − 93 = 2923 − 2013 (Randall L. Rathbun);

  • in 5 modi diversi è 506433677359393 = 280653 + 785323 = 364893 + 770743 = 800253 − 182183 = 958663 − 720873 = 1392643 − 1299513 (Daniel J. Bernstein).

Non è noto se esistano numeri rappresentabili come somma o differenza di due cubi primi tra loro in 6 o più modi.

 

Se si utilizzano solo cubi di numeri primi le minime soluzioni sono:

  • 6058655748 = 613 + 18233 = 10493 + 16993, usando solo addizioni;

  • 68913 = 403 + 173 = 413 – 23, usando addizioni e sottrazioni;

  • 62540982 = 3973 − 313 = 18673 − 18613, usando solo sottrazioni.

 

Alle voci frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della radice quadrata di 1729.

Vedi anche

Cubi.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Odifreddi, Piergiorgio;  "Millesettecentoventinove" in Le Scienze, Milano, n. 445, settembre 2005.

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