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Esagonali centrati (numeri)

Numeri figurati 

I numeri esagonali centrati, talvolta detti semplicemente “esagonali” o “hex” da alcuni Autori, sono i numeri di palline che possono essere disposte a forma di esagono pieno, come mostra la figura seguente.

 

Raffigurazione dei numeri esagonali centrati

 

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente poligonali centrati.

 

Compaiono per la prima volta in Ganita Sara Sangraha (compendio dell’essenza della matematica), del matematico indiano Mahavira, datato intorno all’850, in un problema che chiede quante frecce ci siano in un fascio esagonale, con 4 frecce per lato.

 

L’n-esimo numero esagonale centrato è En = n3 – (n – 1)3 = 3n2 – 3n + 1.

 

Ogni numero esagonale centrato si può ottenere come somma di 6 numeri triangolari: En = Tn + 4Tn – 1 + Tn – 2.

 

Per le somme dei numeri esagonali centrati e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma di numeri esagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri esagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri esagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri esagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri esagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri esagonali centrati;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri esagonali centrati a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri esagonali centrati e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri esagonali centrati.

 

La tabella seguente mostra i primi 20 numeri esagonali centrati.

n

En

1

1

2

7

3

19

4

37

5

61

6

91

7

127

8

169

9

217

10

271

11

331

12

397

13

469

14

547

15

631

16

721

17

817

18

919

19

1027

20

1141

 

Vi sono infiniti numeri esagonali centrati che sono anche quadrati o triangolari, ma nessuno può avere entrambe le proprietà contemporaneamente, tranne 1.

 

Per numeri esagonali centrati appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Tra le loro proprietà, va ricordato il fatto che la somma dei primi n numeri esagonali centrati è il cubo di n: 1 + 7 = 8 = 23, 1 + 7 + 19 = 27 = 33 e così via. Questo equivale ad affermare che ognuno di tali numeri è la differenza tra due cubi consecutivi.

Una conseguenza è che un numero esagonale centrato maggiore di 1 non può essere un cubo, perché se lo fosse varrebbe l’equazione (x + 1)3x3 = y3, che costituirebbe un controesempio dell’ultimo teorema di Fermat, mentre il caso particolare dei cubi venne dimostrato insolubile già da Eulero.

Un’altra conseguenza è che la media dei primi n numeri esagonali centrati è n2.

 

Ascar M. Alzhekeyev dimostrò nel 2016 che per qualsiasi coppia di interi positivi m e t:

  • ((2m – 1)m)6t ≡ ((2m – 1)(m + 1))6t ≡ ((2m – 1)(2m + 1))6t mod En + 1;

  • ((2m – 1)m)6t + 3 ≡ ((2m – 1)(m + 1))6t + 3 ≡ –((2m – 1)(2m + 1))6t + 3 mod En + 1.

 

En è il massimo numero di parti comuni a due o più di n + 1 triangoli che si intersecano

 

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di al massimo 8 numeri esagonali centrati; ne servono 8 per tutti (e soli) gli infiniti interi della forma 6k + 2, dove k non è rappresentabile come somma di due soli numeri triangolari (per la dimostrazione v. numeri poligonali centrati).

 

Ogni intero positivo può essere espresso come somma di numeri esagonali centrati differenti, tranne: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 21, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 39, 40, 41, 42, 43, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 58, 59, 60, 65, 66, 67, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 82, 83, 84, 85, 86, 89, 90, 93, 94, 95, 96, 97, 100, 101, 102, 103, 104, 107, 108, 109, 112, 113, 114, 115, 116, 119, 120, 121, 122, 123, 126, 130, 131, 132, 133, 137, 138, 139, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 149, 150, 151, 156, 157, 158, 161, 162, 163, 166, 167, 168, 173, 174, 175, 180, 181, 182, 185, 186, 187, 192, 193, 194, 198, 199, 200, 201, 202, 203, 204, 205, 210, 211, 212, 220, 221, 222, 223, 227, 228, 229, 234, 235, 239, 240, 241, 242, 246, 247, 248, 253, 258, 259, 264, 265, 266, 269, 270, 276, 277, 283, 284, 288, 289, 292, 295, 300, 301, 302, 307, 310, 311, 312, 313, 314, 318, 319, 320, 325, 326, 330, 337, 349, 354, 355, 356, 361, 367, 373, 374, 379, 380, 390, 391, 403, 409, 410, 415, 427, 428, 438, 439, 445, 446, 452, 457, 463, 464, 471, 481, 482, 494, 517, 518, 529, 535, 536, 542, 571, 572, 578, 589, 590, 620, 626, 644, 662, 680, 698, 734, 788 e 860.

 

Se la congettura di Bunyakovsky è vera, vi sono infiniti numeri esagonali centrati primi, detti “primi cubani”; quelli minori di 10000 sono: 7, 19, 37, 61, 127, 271, 331, 397, 547, 631, 919, 1657, 1801, 1951, 2269, 2437, 2791, 3169, 3571, 4219, 4447, 5167, 5419, 6211, 7057, 7351, 8269, 9241.

Ve ne sono 3325 minori di 109, che trovate qui.

Il massimo noto è uguale alla differenza tra il cubo di 1000008454096 + 1 e il cubo del numero precedente (Jens Kruse Andersen).

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