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Primi di Pierpont

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi di Pierpont” i numeri primi della forma 2m3n + 1; i primi di Pierpont includono quindi tutti i primi di Fermat.

 

Devono il loro nome a James P. Pierpont (Connecticut, USA, 16/6/1866 – San Mateo, USA, 9/12/1938), che dimostrò che se si allentano i vincoli della geometria classica, ammettendo la possibilità di trisecare angoli, disponendo quindi di riga e compasso e trisettore (ossia uno strumento capace di trisecare un angolo qualsiasi), si possono disegnare tutti e soli i poligoni regolari il cui numero di lati è della forma Prodotto di potenze di 2, potenze di 3 e primi di Pierpont distinti, dove i vari pk sono primi di Pierpont distinti. Quindi per esempio, per disegnare un ettagono regolare basta poter trisecare un angolo, non serve poterlo dividere in 7 parti uguali.

Il minimo poligono che non si può disegnare in questo modo è l’endecagono regolare (11 lati).

Dato che tramite l’origami si può trisecare un angolo, tutti i poligoni costruibili con riga, compasso e trisettore sono anche costruibili con l’origami (v. numeri costrubili).

 

David A. Cox e Jerry Shurman estesero nel 2005 il teorema, dimostrando che potendo trisecare un angolo (e in particolare con l’origami) si può:

  • dividere la lemniscata in n archi di uguale lunghezza se e solo se n è il prodotto di potenze di 2 e 3 per primi di Pierpont distinti, uguali a 7 o della forma 4k + 1 (quindi escludendo primi di Pierpont come 19, 163, 487, 1459 e 39367);

  • dividere la curva a trifoglio in n archi di uguale lunghezza se e solo se n è il prodotto di potenze di 2 e 3 per primi di Pierpont distinti, uguali a 5, 17 o della forma 3k + 1, (quindi escludendo primi di Fermat come 257 e 65537).

La curva a trifoglio, mostrata nella figura seguente, è descritta coordinate polari dall’equazione Equazione della curva a trifoglio.

 

Raffigurazione della curva a trifoglio

 

 

I primi di Pierpont minori di 109 sono: 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, 1179649, 1492993, 1769473, 1990657, 2654209, 5038849, 5308417, 8503057, 11337409, 14155777, 19131877, 28311553, 57395629, 63700993, 71663617, 86093443, 102036673, 113246209, 120932353, 169869313, 258280327, 483729409, 725594113.

 

I massimi noti sono:

  • 224787853 + 1 (J. Cosgrave, 2003, 746190 cifre);

  • 250823063 + 1 (1529928 cifre);

  • 270336413 + 1 (Michael Herder, 2011, 2117338 cifre).

 

Si conoscono oltre 4000 primi di Pierpont ed è opinione comune che siano infiniti.

 

Vari primi di Pierpont sono stati scoperti nel corso delle ricerce sulla scomposizione dei numeri di Fermat; la tabella seguente mostra alcuni divisori di numeri di Fermat Fk che sono primi di Pierpont 2m3n + 1.

k

m

n

Scopritore e anno

38

41

1

Cullen, Cunningham e Western, 1903

63

67

2

Robinson, 1956

207

209

1

Robinson, 1956

452

455

3

Robinson, 1956

9428

9431

2

Keller, 1983

12185

12189

4

Dubner, 1993

28281

28285

4

Taura, 1996

157167

157169

1

Young, 1995

213319

213321

1

Young, 1996

303088

303093

1

Young, 1998

382447

382449

1

Cosgrave e Gallot, 1999

461076

461081

2

Nohara, Jobling, Woltman e Gallot, 2003

672005

672007

3

Cooper, Jobling, Woltman e Gallot, 2005

2145351

2145353

1

Cosgrave, Jobling, Woltman e Gallot, 2003

2478782

2478785

1

Cosgrave, Jobling, Woltman e Gallot, 2003

 

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