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Wedderburn – Etherington (numeri di)

Matematica combinatoria  Sequenze  Teoria dei grafi 

I numeri di Wedderburn – Etherington prendono il nome da Joseph Henry Maclagan Wedderburn (Forfar, Scozia, 2/2/1882 – Princeton, USA, 9/10/1948) e Ivor Malcolm Haddon Etherington (Lewisham, Inghilterra, 8/2/1908 – 1/1/1994).

 

Hanno applicazioni in matematica combinatoria, soprattutto in relazione ai numeri di alberi:

  • il numero di alberi binari non isomorfi con n nodi è Wn + 1;

  • il numero di alberi binari non isomorfi con n nodi, nei quali la radice ha al massimo un figlio, è Wn;

  • il numero di alberi fortemente binari non isomorfi con 2n – 1 nodi è Wn;

  • il numero di alberi fortemente binari non isomorfi con n foglie, che equivale al numero di numero di schemi di tornei a eliminazione diretta con n partecipanti, è Wn.

 

I numeri di Wedderburn – Etherington si possono calcolare tramite la ricorrenza: W0 = 0, W1 = 1, Formula per il calcolo dei numeri di Wedderburn – Etherington, Formula per il calcolo dei numeri di Wedderburn – Etherington.

 

R. Otter dimostrò nel 1948 che al crescere di n Wn tende a η * ξ^(n – 1) / sqrt(n^3), dove ξ è la radice positiva dell’equazione Equazione per la definizione di ξ, vale circa 2.4832535362 e si può anche ricavare come Limite per il calcolo di ξ, dove c0 = 2 e Formula per il calcolo di c(n), mentre Formula per il calcolo di η.

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali di ξ (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 101 cifre decimali di η (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La tabella seguente mostra i numeri di Wedderburn – Etherington fino a W20.

n

Wn

0

0

1

1

2

1

3

1

4

2

5

3

6

6

7

11

8

23

9

46

10

98

11

207

12

451

13

983

14

2179

15

4850

16

10905

17

24631

18

56011

19

127912

20

293547

 

Gli unici i numeri di Wedderburn – Etherington primi per n fino a 1000 sono:

W4 = 2,

W5 = 3,

W7 = 11,

W8 = 23,

W13 = 983,

W14 = 2179,

W17 = 24631,

W23 = 3626149,

W28 = 253450711,

W29 = 596572387,

W63 = 4958179972866730572551,

W80 = 17950473826186485808766524097,

W134 = 17690812163571687513245304152178763697755384812733,

W233 = 9852801774222802457119814738073136914072348071335480633169417277909155746150705781482843,

W534 = 225914180897108643992123693439105964881725221687673879201841047595479304419587876610452048099966640932911906145454986865513034052129151072022514875024055456634897971164595818964199822057362865825897338918781,

W732 = 230418741341881208294486613797247607353802402435906165134329451378313951465125171334337193061610247180940145774077956241298914812699482269398023908315870608203576420085825982080182439190494551711534148228868696831872557252077075703264684730053239776446908284194816433585346273921788359.

Vedi anche

Numeri di alberi.

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