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Conway (costante di)

Rappresentazione dei numeri  Vari 

La storia della costante di Conway inizia con la sequenza 1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, presentata spesso come quiz, nel quale si chiede il termine successivo, dati i primi. La soluzione è semplice e non numerica: iniziando con 1, ogni termine “descrive” il precedente. Così il secondo ci spiega che il precedente è formato da un “1”, il terzo che il secondo è formato da due “1”, il quarto che il terzo è formato da un “2” e un “1” e così via.

 

Conway analizzò la sequenza, dimostrando che il numero di cifre tende asintoticamente a Cλn, dove C è una costante e λ, detta “costante di Conway”, vale circa 1.3035772690 ed è l’unica radice positiva della spaventosa equazione x71x69 – 2x68x67 + 2x66 + 2x65 + x64x63x62x61x60x59 + 2x58 + 5x57 + 3x56 – 2x55 – 10x54 – 3x53 – 2x52 + 6x51 + 6x50 + x49 + 9x48 – 3x47 – 7x46 – 8x45 – 8x44 + 10x43 + 6x42 + 8x41 – 5x40 – 12x39 + 7x38 – 7x37 + 7x36 + x35 – 3x34 + 10x33 + x32 – 6x31 – 2x30 – 10x29 – 3x28 + 2x27 + 9x26 – 3x25 + 14x24 – 8x23 – 7x21 + 9x20 + 3x19 – 4x18 – 10x17 – 7x16 + 12x15 + 7x14 + 2x13 – 12x12 – 4x11 – 2x10 + 5x9 + x7 – 7x6 + 7x5 – 4x4 + 12x3 – 6x2 + 3x – 6 = 0. Questo polinomio ha gruppo di Galois S71, quindi le sue radici, inclusa λ, non possono essere espresse per mezzo di radicali.

 

Qui trovate le prime 20000 cifre decimali della costante di Conway (Henry J. Smith).

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate trovate ottime approssimazioni della costante.

 

Conway dimostrò anche che una legge di crescita di questo genere vale per tutte le sequenze analoghe, indipendentemente dalla stringa iniziale, con l’eccezione della stringa vuota e di 22; cambia solo la costante C, che vale circa 1.567 se si inizia con “1” e 1.814 se si inizia con una cifra da 2 a 9.

Ma l’acuta analisi di Conway non si ferma qui! Analizzando la sequenza, vide che si formano termini della forma XY, dove X e Y sono sottostringhe che nelle successive generazioni non interferiscono più tra loro. Conway chiamò “composti” questi termini e “atomi” le stringhe non scomponibili in questo modo. Dimostrò quindi che esistono esattamente 92 atomi, ai quali diede i nomi dei 92 elementi. Qualsiasi stringa iniziale decade in un numero finito di passi in un composto e l’abbondanza relativa degli atomi dei vari tipi non dipende dalla stringa iniziale. Per esempio, ogni milione di atomi vi saranno in media 91790 atomi di idrogeno, l’elemento più comune, e solo 27 di arsenico, il più raro. Questa classificazione fornisce un modo semplice di descrivere le sequenze: per esempio, iniziando con 13 abbiamo la sequenza Pa, Th, Ac, Ra, Fr e Rn, seguita da HoAt, perché la stringa 13211321322113 si scompone come 1321132 – 1322113, corrispondenti a olmio e astato, secondo la classificazione di Conway.

Se la stringa iniziale contiene cifre maggiori di 3, servono alcuni “isotopi” aggiuntivi per descrivere le stringhe, battezzati con i nomi degli elementi transuranici, come Pu4 = 312211322212221121123222114, Pu5 = 312211322212221121123222115, Nu4 = 13112221133211322112211213322114, Nu5 = 13112221133211322112211213322115. La frequenza di questi isotopi “instabili” tende a zero per qualsiasi stringa iniziale, come dimostrò Conway con quello che chiamò “teorema cosmologico”.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Conway, John Horton;  "The Weird and Wonderful Chemistry of Audioactive Decay" in Eureka, n. 46, 1986, pag. 5-18.
  • Conway, John Horton;  Guy, Richard K.;  The Book of Numbers, New York, Springer-Verlag, 1996.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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