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Idonei (numeri)

Teoria dei numeri 

Eulero chiamò “idonei” gli interi positivi n con la seguente proprietà: se m è un intero dispari, primo rispetto a n, rappresentabile in un solo modo come x2 + ny2 con x e y interi positivi e x e ny primi tra loro, m è primo o potenza di primo.

Per esempio, se un intero è rappresentabile in un unico modo come x2 + 3y2, con x e y primi tra loro, allora è primo o potenza di primo. E’ il caso di 19 = 42 + 3 • 12, che è appunto primo. Notate che non tutti i primi sono rappresentabili in questo modo; per esempio, 17 non lo è. Viceversa 11 non è idoneo, perché 15 = 22 + 11 • 12 e questa è l’unica rappresentazione di 15 di questo genere, ma 15 è composto.

 

Sono talvolta chiamati “numeri convenienti”.

 

Se nella definizione si richiede che x e y siano non negativi (ammettendo quindi la possibilità che uno dei due sia zero), allora m è necessariamente primo. In questo modo, infatti, si evitano casi come 9 = 12 + 2 • 22, perché compare una seconda rappresentazione: 9 = 32 + 2 • 02 e si eliminano le potenze dei primi.

 

Una definizione equivalente è che un intero n è idoneo se un intero m rappresentabile in un solo modo come x2 ± ny2 con x e y interi positivi e x e ny primi tra loro è primo, il doppio di un primo, una potenza di primo o il doppio di una potenza di un primo.

 

Se invece un numero n non è idoneo, esistono infiniti numeri composti rappresentabili in due modi come x2 + ny2.

 

Nel caso di 1, la sua “idoneità” deriva dal teorema, dimostrato da Fermat, che afferma che se un numero si può rappresentare in un solo modo come somma di due quadrati distinti e non è un quadrato, allora è primo. Tutti e soli i numeri primi della forma 4k + 1 si possono rappresentare in questo modo.

 

Eulero nel 1778 trovò 65 numeri idonei: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 e 1848, a tutt’oggi ancora gli unici noti. Eulero estese le sue ricerche sino a 10000 e si convinse che non dovevano esistene altri, ma non riuscì a provarlo. I matematici iniziarono quindi a cercare altri numeri idonei o a tentare di dimostrare che non ne esistono altri.

Cunningham e Cullen estesero nel 1919 le ricerche sino a 105, senza trovare altri numeri idonei.

Nel 1948J.D. Swift portò il limite a 107.

Weinbergerriferì che Lehmer aveva portato il limite a 5 • 109, ma di tale lavoro non si trova traccia; M. Jacobson, S. Ramachandran e H. Williams portarono nel 2006 il limite a 2.5 • 109.

F. Grube dimostrò nel 1874 che eventuali altri numeri idonei non possono essere della forma 4k + 3.

S. Chowla dimostrò nel 1934 che i numeri idonei sono in numero finito.

E. Grosswald dimostrò nel 1963 che, supponendo vera una versione generale dell’ipotesi di Riemann, la lista di Eulero dei numeri idonei è completa.

Peret J. Weinbergerdimostrò nel 1973 che oltre a quelli noti ce n’è al massimo un altro, non multiplo di un quadrato e della forma 4k + 1, oppure due, il minore non multiplo di un quadrato e della forma 4k + 2, il maggiore uguale al suo quadruplo. Weinberger dimostrò inoltre che, supponendo vera una versione generale dell’ipotesi di Riemann, la lista di Eulero dei numeri idonei è completa.

L’opinione prevalente tra gli esperti è non ne esistano altri.

 

Nella sua ricerca Eulero si avvalse di alcune proprietà, in parte da lui stesso dimostrate:

  • un numero n è idoneo se tutti i numeri della forma n + y2 minori di 4n, con y primo rispetto a n, sono primi, quadrati di primi, doppi di primi o potenze di 2;

  • se n è idoneo, n + 1 è 8, 16, un primo, il doppio di un primo o il quadrato di un primo;

  • se n è idoneo della forma 4k + 2, 4k + 3 o 8k + 4, anche 4n è idoneo;

  • se n è idoneo della forma 3k + 2, anche 9n è idoneo;

  • se nm2 è idoneo, anche n è idoneo;

  • se n è maggiore di 1 e idoneo della forma 4k + 1, 16k + 8 o 32k + 16, 4n non è idoneo;

  • se n è idoneo ed esiste un primo p tale che n + k2 = p per qualche intero k, 4n non è idoneo;

  • n è idoneo se e solo se per ogni intero k da 1 a Radice di n terzi, arrotondata per difetto e primo rispetto a n, n + k2 è primo, il quadrato di un primo, il doppio di un primo o una potenza di 2;

  • n è idoneo se e solo se non è rappresentabile come ab + bc + ac, con a, b e c interi distinti e maggiori di 0.

 

Eulero stesso dimostrò che 1, 4, 9 e 25 sono gli unici quadrati idonei.

 

Eulero era interessato a tali numeri perché era interessato dalla possibilità di generare primi relativamente grandi: infatti trovò primi grandi per l’epoca, esaminando numeri della forma x2 + 1848y2. In particolare, nel 1758 Eulero dimostrò che 18518809 è primo, mostrando che ha una sola rappresentazione come x2 + 1848y2: 1972 + 1848 • 1002.

Per Eulero questi numeri erano quindi “idonei” a dimostrare che un intero è primo, tuttavia i numeri idonei non si rivelarono molto utili per questo scopo dopo il XVIII secolo.

 

Eulero dimostrò che:

  • se un primo p divide x2 + y2, ma non divide sia x che y, p è della forma x2 + y2;

  • se un primo p divide x2 + 2y2, ma non divide sia x che y, p è della forma x2 + 2y2;

  • se un primo p divide x2 + 3y2, ma non divide sia x che y, p è della forma x2 + 3y2

  • se n = ab è idoneo, allora gli interi rappresentabili in un unico modo come ax2 + by2, con ax primo rispetto a by, sono: i primi, i loro quadrati, i doppi dei primi e le potenze di 2 (Eulero, 1778);

  • se n è idoneo, vi sono infiniti primi della forma x2 + ny2.

 

F. Grube dimostrò nel 1874 che:

  • se n è della forma 4k + 2, 4k + 3 o 8k + 4, n è idoneo se e solo se anche 4n è idoneo;

  • se n è idoneo e multiplo di un quadrato, questo è 1, 4, 9, 16 o 25;

  • n diverso da 3, 7 e 15 è idoneo se e solo se per ogni intero k da 1 a Radice di n terzi, arrotondata per difetto n, n + k2 ha la forma mp, mp2 o 2mp, con m divisore di n e p primo;

 

Se n è idoneo il simbolo di Legendre Simbolo di Legendre (-n / p) è diverso da 1 per tutti i primi p dispari minori di Radice quadrata di n; se n è pari, ma non multiplo di 8, la condizione vale per tutti i primi dispari minori di Radice quadrata di 4n + 1. L’inverso non vale: per esempio, la condizione vale per 19 e 43, che non sono idonei; valgono tuttavia teoremi lievemente diversi:

  • se n non è della forma 4k + 3, non è multiplo di quadrati e il simbolo di Legendre Simbolo di Legendre (-4n / p) è diverso da 1 per tutti i primi p dispari minori di Radice quadrata di 4n / 3, allora n è idoneo; nel 1990 E. Bach dimostrò che se vale l’ipotesi di Riemann generalizzata, basta che la condizione valga per i primi minori di 6log2(4n);

  • se n è pari, ma non multiplo di 8, è idoneo se e solo se esistono interi m e k tali che m2n = k(pk) per ogni primo p tale che Simbolo di Legendre (-n / p) uguale a 1;

  • se n è pari, ma non multiplo di 8, è idoneo se e solo simbolo di Legendre Simbolo di Legendre (-n / p) è diverso da 1 per tutti i primi p dispari minori di Radice quadrata di 4n / 3; in tal caso la condizione vale per tutti i primi dispari minori di Radice quadrata di 4n + 1.

 

Un intero n non multiplo di un quadrato è idoneo se e solo se ogni divisore primo dispari p di x2 + ny2 primo rispetto a n è tale che p o 2p possono essere rappresentati come ax2 + by2, con n = ab (A. Weil).

Se n = ab è idoneo e m può essere scritto in un solo modo come ax2 + by2, con ax e by primi tra loro, allora m è primo, il doppio di un primo o una potenza di 2.

 

D. Cox dimostrò nel 1989 che un intero n è idoneo se e solo se data ax2 + bxy + cy2 una forma quadratica ridotta con discriminante b2 – 4ac = –4n, allora b è zero oppure a è uguale a b o c.

 

Eric Rains dimostrò che un intero è idoneo se e solo se non può essere scritto come ab + bc + ca, con a, b e c interi diversi e maggiori di zero.

 

Per ogni numero idoneo n, non sono rappresentabili come a2 + nb2 i numeri appartenenti ad alcune progressioni aritmetiche e quindi vi sono infiniti primi non rappresentabili, oltre a quelli minori di n.

Di conseguenza vi sono infiniti primi non rappresentabili come a2 + nb2 per nessun numero idoneo n, tutti della forma 1751294199815160k + m, dove m può assumere vari miliardi di valori; quelli inferiori a 105 sono: 47, 167, 479, 503, 887, 1223, 1319, 1487, 1823, 1847, 4703, 10919, 11087, 13943, 14087, 15671, 20303, 20327, 23183, 23327, 23399, 27887, 29567, 32423, 37127, 38639, 38783, 38807, 41663, 41807, 41879, 43391, 46367, 47759, 48023, 50903, 50951, 51047, 56999, 57263, 57287, 60143, 66503, 66527, 69383, 69527, 69599, 75743, 75767, 78623, 78839, 83327, 87863, 88007, 88079, 92567, 94079, 94247, 97103, mentre il massimo è 1751294199815159.

I numeri primi inferiori a 105 non rappresentabili tramite numeri idonei sono: 47, 167, 479, 503, 887, 1223, 1319, 1487, 1823, 1847, 4703, 11087, 14087, 15671, 20327, 23327, 23399, 29567, 32423, 38639, 38783, 41879, 43391, 48023, 50951, 51047, 56999, 57287, 69383, 75743, 75767, 78623, 78839, 88007, 88079, 92567, 94079, 97103.

Qui trovate i valori di m fino a 109, tali che un primo della forma 1751294199815160k + m, non possa essere rappresentato tramite alcun numero idoneo (M. Fiorentini, 2016) (5.9 Mbyte).

Qui trovate i primi fino a 109 non rappresentabili tramite alcun numero idoneo (M. Fiorentini, 2016) (2.1 Mbyte).

Vedi anche

Primi (numeri).

Bibliografia

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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