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Il problema non si pone per figure piane generiche: un rettangolo abbastanza lungo e stretto può essere messo in contatto con un numero arbitrariamente grande di figure identiche.
Nel caso di poligoni regolari la soluzione è abbastanza semplice.
Un triangolo equilatero può essere messo in contatto con 12 triangoli uguali, come mostra la figura seguente, con uno schema valido per qualsiasi triangolo.
Un quadrato può essere messo in contatto con 8 quadrati uguali, come mostra la figura seguente, con uno schema valido per qualsiasi parallelogramma.
Un poligono regolare con 5 o più lati può essere messo in contatto con 6 figure uguali; la figura seguente mostra lo schema per l’esagono regolare, che resta valido per poligoni con più di 6 lati, anche se i contatti si limitano a punti e non a lati interi.
L’unico poligono regolare che richieda uno schema leggermente diverso è il pentagono regolare, come mostra la figura seguente.
Se si considerano solo i contatti lungo un segmento, non un singolo punto, il problema diviene più complicato. Il numero massimo di poligoni regolari non sovrapposti che possono condividere un segmento del perimetro con uno uguale è 6, ma non sempre il massimo può essere raggiunto.
Un triangolo equilatero può condividere una parte del perimetro con 4 triangoli uguali, come mostra la figura seguente, con uno schema valido per qualsiasi triangolo.
Un quadrato può avere un segmento in comune con 6 quadrati uguali, come mostra la figura seguente, con uno schema valido per qualsiasi parallelogramma.
Un pentagono regolare può avere un segmento del perimetro in comune con altri 5 pentagoni uguali, uniti uno per lato, e analogamente un esagono regolare può avere un segmento del perimetro in comune con altri 6 esagoni uguali; per questi poligoni è possibile condividere un lato intero.
Nel caso di poligoni con più lati però è possibile far condividere a 6 poligoni uguali adiacenti un intero lato solo se il numero di lati è multiplo di 6.
Nel caso dell’ettagono, come per tutti i poligoni regolari con un numero dispari maggiore di 3 di lati, se ne possono mettere solo 5 a contatto, come mostra la figura seguente.
Nel caso dell’ottagono, come per tutti i poligoni regolari con un numero pari di lati, invece, si arriva a 6, come mostra la figura seguente.
Le stesse configurazioni, ovvero 6 a contatto per i poligoni con numero pari di lati e 5 per quelli con numero dispari, sembrano valere per tutti i poligoni con un numero superiore di lati; non so se sia stato dimostrato.
Si può disporre un numero grande a piacere di figure piane in modo che ciascuna tocchi le altre anche in un solo punto: basti pensare a una torta divisa in un gran numero di fette col centro in comune. Se però il contatto deve essere un segmento, anche piccolo, il massimo è 4. Per dimostrare che non è possibile disporne 5, basta considerare che, dopo aver scelto un punto all’interno di ciascuna, si potrebbero collegare i punti di due figure con una linea che attraversi solamente il confine comune e nessun altro perimetro. Si realizzerebbe in questo modo un grafo completo K5, con cinque punti ciascuno connesso a tutti gli altri, ma è stato dimostrato da tempo che un grafo del genere non è planare, cioè non può essere disegnato sul piano senza incroci.
Con i poligoni regolari uguali si arriva ad averne solo 3 mutuamente in contatto, e solo se il numero di lati è pari.
Si può raggiungere il massimo di 4 con quadrilateri simili, come mostra la figura seguente.
Si possono anche avere 4 poligoni uguali mutualmente a contatto e in vari modi, come mostra la figura seguente.
Nella figura di destra, un’idea di Scott Kim leggermente modificata, gli angoli sono tutti di 45°, 90° o 135° e i lati sono lunghi nell’ordine 2, 
, 
, 1, 
, 
.
Non è stato dimostrato che 6 sia il minimo numero di lati né che il poligono debba per forza essere concavo, ma non si conosce alcuna figura del genere con meno di 6 lati o convessa.
Se si richiede che il poligono non subisca riflessioni, ma si ammettono buchi, il minimo numero di lati sembra essere 8, come mostra la figura seguente.
Il minimo numero di lati noto per poligoni a simmetria bilaterale e mappe senza buchi è 22, come mostra la figura seguente.
Bibliografia
- Conway, John Horton; Sloane, Neil J.A.; Sphere Packings, Lattices and Groups, New York, Springer-Verlag, terza ediz., 1999.
- Gardner, Martin; Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -
Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.
- Gardner, Martin; The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
- Roberts, Joe; The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -
Una miniera di informazioni sugli interi.
- Szpiro, George G.; Kepler’s Conjecture, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003.