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Contatti (numero di)

Geometria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Generalizzazioni in due dimensioni
  3. 3. Generalizzazioni in tre dimensioni

Quante sfere uguali a n dimensioni possono toccare contemporaneamente una uguale centrale?

La soluzione si chiama numero di contatti a n dimensioni.

Il problema è stato molto studiato, perché le soluzioni in un numero di dimensioni elevato hanno importanti applicazioni nei codici usati per le trasmissioni di dati per rilevare eventuali errori.

 

In una dimensione le sfere si riducono a segmenti e se ne possono mettere due adiacenti a un segmento centrale.

In due dimensioni 6 cerchi identici possono toccarne uno centrale ed è facile vedere che non è possibile aggiungerne un settimo.

In tre dimensioni, però, il problema diventa più complesso: è facile disporre 12 sfere a contatto con quella centrale, ma la disposizione non è unica (v. numero di Newton) e non è semplice dimostrare che la tredicesima sfera non può essere aggiunta.

 

Il teorema di Minkowski – Hlawka (v. numero di Newton) pone un limite inferiore in n dimensioni pari a Limite inferiore per il numero di contatti in n dimensioni, ma la dimostrazione non indica come disporre le sfere per un valore fissato di n.

Nel 1979 N. Sloane e A. Odlyzko trovarono un modo per calcolare un limite superiore di sfere a contatto in n dimensioni.

 

In 4 dimensioni il problema fu risolto da Oleg Musin nel 2003; si sapeva da tempo che si potevano collocare 24 ipersfere a contatto con una centrale, ma come in 3 dimensioni avanza molto spazio (anzi, iperspazio) e v’era il dubbio che si potesse collocare una venticinquesima ipersfera.

 

Il problema fu risolto anche in 8 e 24 dimensioni da John Leech (Weybridge, Inghilterra, 21/7/1926 – Sulla nave a ruote Waverley, al largo della Scozia, 28/9/1992) nel 1965, con disposizioni che coincidono col limite di Sloane e Odlyzko, e in dimensioni 5, 6 e 7, limitatamente a distribuzioni con i centri delle sfere fissati ai vertici di un reticolo regolare. In molte altre dimensioni si conoscono soluzioni probabilmente ottimali, ma non dimostrate tali, riportate nella tabella seguente..

Dimensioni

Disposizioni regolari

Disposizioni irregolari

1

2

2

2

6

6

3

12

12

4

24

24

5

40

[40 .. 44]

6

72

[72 .. 78]

7

126

[126 .. 134]

8

240

240

9

306

[306 .. 364]

10

[336 .. 554]

[500 .. 554]

11

[438 .. 870]

[582 .. 870]

12

[756 .. 1357]

[840 .. 1357]

13

[918 .. 2069]

[1154 .. 2069]

14

[1422 .. 3183]

[1606 .. 3183]

15

[2564 .. 4866]

[2564 .. 4866]

16

[4320 .. 7355]

[4320 .. 7355]

17

[5346 .. 11072]

[5346 .. 11072]

18

[7398 .. 16572]

[7398 .. 16572]

19

[10668.. 24812]

[10668.. 24812]

20

[17400 .. 36764]

[17400 .. 36764]

21

[27720 .. 54584]

[27720 .. 54584]

22

[49896 .. 82340]

[49896 .. 82340]

23

[93150 .. 124416]

[93150 .. 124416]

24

196560

196560

 

A partire da 9 dimensioni il problema diviene molto difficile: come spesso succede in questi casi, in dimensioni elevate vi sono effetti imprevisti, che rendono inapplicabili i metodi usati sino a quel punto.

A partire da 5 dimensioni si conoscono disposizioni non regolari (con i centri delle sfere che non coincidono con i punti di un reticolo regolare), migliori della miglior soluzione regolare nota.

 

Tra i (pochi) casi nei quali il numero di contatti è noto, la disposizione che realizza il massimo numero di contatti è unica solo in 1, 2, 8 e 24 dimensioni.

Bibliografia

  • Conway, John Horton;  Sloane, Neil J.A.;  Sphere Packings, Lattices and Groups, New York, Springer-Verlag, terza ediz., 1999.
  • Gardner, Martin;  Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -

    Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.

  • Gardner, Martin;  The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Szpiro, George G.;  Kepler’s Conjecture, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003.

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