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Newton (numero di)

Geometria 

Quante sfere di uguali dimensioni possono toccare contemporaneamente una uguale centrale, senza che due sfere si intersechino?

 

E’ facile disporre 12 sfere a contatto con quella centrale, ma la disposizione non è unica:

  • si possono disporre 6 sfere su un piano, intorno a quella centrale, 3 sopra e 3 sotto, come nell’impacchettamento migliore possibile di sfere;

  • si possono disporre 4 sole sfere intorno a quella centrale, ai vertici di un quadrato, poi due strati di 4, uno sopra e uno sotto il piano definito dalle prime 4, negli incavi tra le 4 iniziali e la sfera centrale;

  • si può disporre una sfera al di sotto di quella centrale, 5 a formare un pentagono regolare, con i centri in un piano al di sotto del piano centrale della sfera, altre 5 a formare un altro pentagono regolare, appoggiate negli incavi tra le precedenti e la sfera centrale, e finalmente una al di sopra della sfera centrale, realizzando un impacchettamento dodecaedrico, così detto perché le sfere possono trovarsi ai centri delle facce di un dodecaedro regolare.

I primi due producono la stessa disposizione di sfere, anche se non è semplice rendersene conto senza costruire un modello (v. costanti di Hermite), ma il terzo è completamente differente.

 

Nel 1963 Harold Scott MacDonald Coxeter (Londra, 9/2/1907 – Toronto, 31/3/2003) dimostrò che partendo dalla prima disposizione si possono far rotolare le 12 sfere su quella centrale, lasciandole sempre a contatto con questa, sino a ottenere la disposizione dodecaedrica. In effetti, mentre nelle prime due disposizioni ogni sfera delle 12 ne tocca altre 4, disponendo le 12 sfere ai vertici di un dodecaedro regolare esse non si toccano tra loro, pur restando in contatto con la sfera centrale. Esistono quindi infinite disposizioni di 12 sfere a contatto con quella centrale ed è possibile passare dall’una all’altra muovendo le sfere, sempre mantenendole a contatto con quella centrale.

 

Nel 1694 David Gregory (Aberdeen, Scozia, 3/6/1659 – Maidenhead, Inghilterra, 10/10/1708), discutendo con Isaac Newton (Woolsthorpe-by-Colsterworth, UK, 4/1/1643 – Londra, 31/3/1726), avanzò l’ipotesi che si potesse aggiungere una tredicesima sfera, mentre il grande fisico era di parere contrario.

In effetti, l’opinione di Gregory non era del tutto assurda, perché una sfera di raggio 1 ha area 4π ≈ 12.5663706144, mentre il cono con vertice nel centro della sfera centrale e tangente a una delle sfere intorno, sempre di raggio 1, intercetta sulla sfera centrale una calotta di area (sqrt(3) – 2) * π ; il rapporto tra i due numeri è circa 14.9282032303. Lo spazio che le 12 sfere lasciano libero tra loro basterebbe per accoglierne addirittura quasi altre tre, se fosse possibile muoverle in modo da riunire tutti gli spazi liberi in un’unica cavità.

 

Gli strumenti limitati del XVII secolo non permettevano di risolvere la disputa tramite esperimenti, perché le sfere di legno o pietra che potevano essere fabbricate non erano abbastanza precise, però in seguito i fisici si convinsero sperimentalmente che aggiungere la tredicesima sfera è impossibile.

 

Nel 1869 lo svizzero Bender sottopose alla rivista tedesca Archiv der Mathematik und Physisk un articolo contenente una dimostrazione che 12 sfere identiche possono essere disposte in modo che ciascuna tocchi una sfera centrale e 5 altre e una presunta dimostrazione che non si può aggiungere una tredicesima sfera. L’editore Ernst Reinhold Eduard Hoppe (Naumburg, Germania, 18/11/1816 – Berlino, 9/6/1900) attese ben 5 anni per pubblicare l’articolo e lo fece solo quando poté pubblicare nello stesso numero un breve commento, che mostrava come la dimostrazione di Bender fosse errata, e una sua dimostrazione.

La dimostrazione di Hoppe è ingegnosa: supponiamo di collocare 13 sfere intorno a quella centrale, e disegnare una sfera passante per i loro centri (di raggio doppio di quella centrale), per poi collegare con un arco di cerchio massimo di questa ognuno dei 13 centri agli altri. In generale ogni arco ne intersecherà altri: in ogni intersezione rimuoviamo allora il più lungo. A questo punto la sfera sarà ricoperta da una rete di triangoli.

La formula di Eulero ci dice che V + F = L – 2, dove V è il numero dei vertici, L quello dei lati e F quello dei triangoli, ciascuno dei quali contribuisce con 3 / 2 al numero totale di lati, perché ogni lato è condiviso da due triangoli. Nel caso di 13 vertici e triangolari la formula si riduce a 13 + F = 3 / 2 * F – 2, che risolta ci dà F = 22.

Una delle sfere che toccano quella centrale può essere simultaneamente in contatto con altre 5 (oltre alla centrale), non 6, per mancanza di spazio: infatti se tre sfere sono mutuamente a contatto tra loro e con quella centrale, i corrispondenti centri sono ai vertici di un triangolo sferico di angoli arccos(1 / 3), uguali all’angolo diedro tra le facce di un tetraedro regolare, e 6 di questi non possono essere disposti intorno a un punto senza sovrapporsi.

Se la rete è formata da 22 triangoli, vi sono 33 lati, che hanno 66 estremità, ma per suddividere queste tra 13 punti, almeno uno deve essere l’estremo di 6 o più lati, ossia una delle sfere esterne dovrebbe essere a contatto con almeno altre 6, cosa impossibile, come abbiamo visto.

Dimostrazione elegante, ma sfortunatamente errata! Avete visto il sottile errore? Guardate che succede se 5 centri sono disposti in una configurazione come quella mostrata a sinistra nella figura seguente (riferita a un piano e non alla superficie di una sfera, per semplificare il disegno).

 

Disposizione dei centri che evidenzia l'errore nella dimostrazione di Hoppe

 

Il segmento AC incrocia BD ed è più lungo, quindi lo cancelliamo; BD incrocia CE ed è più lungo, quindi lo cancelliamo; CE e BE incrociano AD e sono più lunghi, quindi li cancelliamo. Il risultato è mostrato a destra nella figura: la configurazione ora comprende un quadrilatero e non solo triangoli e la dimostrazione non vale più. L’errore, scoperto solo verso la fine del XIX secolo, sta nel fatto che non è detto che rimuovendo segmenti si ottengano solo triangoli.

 

Finalmente nel 1953 Kurt Schütte (Salzwedel, Germania, 14/10/1909 – Monaco, Germania, 18/8/1998) e Bartel Leendert van der Waerden (Amsterdam, 2/2/1903 – Zurigo, Svizzera, 12/1/1996) pubblicarono congiuntamente due dimostrazioni che se una sfera è simultaneamente a contatto con 13 di raggio uno, deve avere raggio maggiore di 1. I due matematici trovarono una disposizione con un raggio della sfera centrale pari a circa 1.04557, ritenuto il minimo possibile, ma tuttora non dimostrato tale.

 

Nel 1956 John Leech (Weybridge, Inghilterra, 21/7/1926 – Sulla nave a ruote Waverley, al largo della Scozia, 28/9/1992) pubblicò una dimostrazione che ripercorreva la strategia di Hoppe, correggendone il difetto.

 

Il numero di sfere identiche che possono toccare contemporaneamente una centrale, ovvero il numero di contatti per la sfera, è talvolta chiamato “numero di Newton”, in onore del genio inglese.

 

Per una generalizzazione ad altri solidi e a sfere a n dimensioni v. numero di contatti.

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Schütte, Kurt;  van der Waerden, Bartel Leendert;  "Das Problem der dreizehn Kugeln" in Mathematische Annalen, n. 125, 1953, pag. 325 – 334.
  • Szpiro, George G.;  Kepler’s Conjecture, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003.

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