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Conigli (costante dei)

Rappresentazione dei numeri  Sequenze 

La costante dei conigli deve il suo nome al famoso problema di Fibonacci (v. numeri di Fibonacci).

Supponiamo che 0 rappresenti una coppia di conigli giovani e 1 una coppia di adulti: allora la regola di “crescita” del problema di Fibonacci consiste nel sostituire a ogni passo ciascuno 0 con 1 e ciascun 1 con 10.

Se iniziamo con 1 (una coppia di adulti), otteniamo successivamente: 10, 101, 10110, 10110101, 1011010110110, ....

 

Se queste sequenze di cifre sono interpretate come numeri in notazione binaria, otteniamo la “sequenza dei conigli”: 1, 2, 5, 22, 181, 5814, 1488565, 12194330294, 25573364166211253, 439347050970302571643057846, 15829145720289447797800874537321282579904181, 9797766637414564027586288536574448245991597197836000123235901011048118..., nella quale il termine n-esimo è dato da Ricorrenza per la sequenza dei conigli, dove Fn è l’n-esimo numero di Fibonacci.

 

Se consideriamo invece la sequenza di cifre come lo sviluppo di una frazione in base 2, abbiamo 0.1011010110110...2, detta appunto “costante dei conigli”, ottenibile anche come Formula per la costante dei conigli (S. Plouffe), che vale circa 0.7098034428612913146.

 

Qui trovate le prime 1000 cifre binarie della costante.

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della costante.

 

Dato lo stretto legame con i numeri di Fibonacci, non sorprende più di tanto lo sviluppo in frazione continua semplice: Frazione continua per la costante dei conigli.

 

Knuth dimostrò nel 1964 che è trascendente.

 

La sequenza di cifre binarie ha una curiosa interpretazione geometrica: se tracciamo il grafico di y = φx, la retta interseca le rette parallele agli assi, di equazioni y = n e x = n con n intero, ossia le linee che formano un reticolo a maglia quadrata, come mostra la figura seguente.

 

Grafico di y = φx

 

Muovendoci dall’origine per x crescente, scriviamo 1 quando la retta interseca una linea orizzontale e 0 quando interseca una linea verticale: come si può vedere, si ottiene la stessa sequenza.

 

La cifra n-esima della sequenza si può anche ottenere come Formula per la n-esima cifra binaria della costante dei conigli, oppure scrivendo 1 se { (n + 1)φ } è minore di { φ – 1 }, 0 altrimenti, dove { x } indica la parte frazionaria di x.

 

La sequenza non contiene due 0 o tre 1 consecutivi.

Vedi anche

Numeri di Fibonacci, φ.

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