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Congrua (numeri)

Teoria dei numeri 

Un numeri naturale n è congruum se è soluzione di un problema, posto dai matematici Teodoro e Giovanni da Palermo in una sorta di sfida tra matematici, organizzata nel 1225 da Federico II. Il problema consiste nel trovare soluzioni intere alle equazioni x2 + n = y2 e x2n = z2, cioè di trovare un quadrato tale che sommando o sottraendo uno stesso intero si ottenga un altro quadrato, ovvero una progressione aritmetica di tre quadrati.

Il problema era stato posto, generalizzato alle soluzioni razionali, dal matematico persiano al-Karaji (c.953 – c.1029); Dickson però afferma che il problema appare anche in un manoscritto arabo anteriore al 972.

 

Leonardo Pisano, detto Fibonacci (Pisa 1170 – Pisa? 1250), trovò la soluzione generale: x = t(a2 + b2), n = t24ab(a2b2), y = t(a2 + 2abb2), z = t|a2 – 2abb2|, per qualsiasi coppia di interi positivi a e b, con b < a, e qualsiasi intero t.

La soluzione minima si ottiene per a = 2, b = 1 e t = 1: 52 + 24 = 72, 52 – 24 = 12.

 

Fibonacci, famoso per aver introdotto i numeri omonimi, che però rappresentarono una minuscola parte dei suoi studi, definì i numeri congrua come interi della forma 4ab(a2 – b2), con a e b numeri naturali; sono quindi numeri pitagorici (II).

La definizione può sembrare alquanto arbitraria, ma era funzionale ai suoi scopi: Leonardo dimostrò infatti che un numero congruum è sempre multiplo di 24 e che se x2 + c e x2c sono entrambi quadrati, c deve essere un numero congruum. Scoprì anche, quattro secoli prima di Fermat, che un numero congruum non può essere un quadrato e di conseguenza che è impossibile che x2 + y2 e x2y2 siano entrambi quadrati e che l’equazione x4y4 = z2 non ha soluzioni intere, anche se il merito della prima dimostrazione rigorosa va al grande matematico francese. Queste furono tra le prime rigorose dimostrazioni di impossibilità riguardanti equazioni diofantee, anche se alcuni matematici greci erano probabilmente a conoscenza di risultati analoghi.

 

La tabella seguente riporta i numeri congrua minori di 1000.

a

b

t

n

x

y

z

2

1

1

24

5

7

1

2

1

2

96

10

14

2

2

1

3

216

15

21

3

2

1

4

384

20

28

4

2

1

5

600

25

35

5

2

1

6

864

30

42

6

3

1

1

96

10

14

2

3

1

2

384

20

28

4

3

2

1

120

13

17

7

3

2

2

480

26

34

14

4

1

1

240

17

23

7

4

1

2

960

34

46

14

4

2

1

384

20

28

4

4

3

1

336

25

31

17

5

1

1

480

26

34

14

5

2

1

840

29

41

1

5

3

1

960

34

46

14

5

4

1

720

41

49

31

6

1

1

840

37

47

23

Qui trovate i numero congrua minori di 109.

 

Moltiplicando un numero congruum per un quadrato si ottiene un altro numero congruum.

Dividendo i numeri congrua per quadrati di interi e dividendo x, y e z per le corrispondenti basi, si ottengono le soluzioni razionali al problema delle progressioni di quadrati. Per esempio, dividendo 24 per 52 = 25 e 1, 5 e 7 per 5 si ottiene la progressione aritmetica di quadrati razionali 1 / 25, 1,  49 / 25, con differenza 24 / 25 tra i quadrati

 

I numeri congrua sono strettamente legati ai numeri congruenti: questi uttimi si ottengono infatti moltiplicando i primi per il quadrato di un numero razionale.

 

Esistono insiemi numerosi a piacere di progressioni aritmetiche di tre quadrati con la stessa differenza n tra i termini: per trovarle, basta trovare un intero n esprimibile in più modi come 4ab(a2b2)t2 e ricavare quindi i corrispondenti valori per x, y e z.

La minima coppia si ha per n = 840 e corrisponde alle progressioni che iniziano con 1 e 529.

H.E. Dudeney in Amusement in Mathematics indicò correttamente le progressioni inizianti con 4, 2116 e 9409, con differenza comune 3360 tra termini successivi come la minima tripla del genere.

Non esistono invece progressioni aritmetiche di 4 o più quadrati, come suppose Fermat e dimostrò Eulero.

Bibliografia

  • Dudeney, Henry Ernest;  Amusement in Mathematics, Thomas Nelson & Sons, 1917 -

    il testo è ormai introvabile, ma fortunatamente ne esiste un’edizione più recente, Dover, New York, 1958, ristampato nel 1970.

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