Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Congruenti (numeri)

Geometria  Teoria dei numeri 

Un numero naturale n dice “congruente” se è l’area di un triangolo rettangolo con cateti e ipotenusa razionali.

 

La tabella seguente mostra i primi, insieme con i lati dei corrispondenti triangoli.

Numero

Cateti

Ipotenusa

5

Cateto di un triangolo rettangolo di area 5, Cateto di un triangolo rettangolo di area 5

Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 5

6

3, 4

5

7

Cateto di un triangolo rettangolo di area 7, Cateto di un triangolo rettangolo di area 7

Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 7

13

Cateto di un triangolo rettangolo di area 13, Cateto di un triangolo rettangolo di area 13

Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 13

14

Cateto di un triangolo rettangolo di area 14, Cateto di un triangolo rettangolo di area 14

Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 14

15

4, Cateto di un triangolo rettangolo di area 15

Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 15

20

3, Cateto di un triangolo rettangolo di area 20

Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 20

21

Cateto di un triangolo rettangolo di area 21, 12

Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 21

22

Cateto di un triangolo rettangolo di area 22, Cateto di un triangolo rettangolo di area 22

Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 22

23

Cateto di un triangolo rettangolo di area 23, Cateto di un triangolo rettangolo di area 23

Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 23

24

6, 8

10

 

Se i lati a, b e c del triangolo sono razionali, sappiamo che devono essere rispettivamente uguali a r(m2k2), 2rmk e r(m2 + k2) e l’area è n = r2mk(m2k2), con r, razionale e m e k interi; il problema è quindi cercare i numeri esprimibili in questo modo.

La ricerca di numeri congruenti si riduce alla soluzione di una particolare equazione diofantea: definendo Definizione di x a partire dalle lunghezze dei lati del triangolo e Definizione di y a partire dalle lunghezze dei lati del triangolo, oppure Definizione di x a partire dalle lunghezze dei lati del triangolo e Definizione di y a partire dalle lunghezze dei lati del triangolo, vale la relazione y2 = x3n2x, e viceversa se x e y sono razionali e soddisfano questa equazione, Lunghezza di un cateto ricavata dalla soluzione dell'equazioneLunghezza di un cateto ricavata dalla soluzione dell'equazioneLunghezza dell'ipotenusa ricavata dalla soluzione dell'equazione sono lati razionali di un triangolo rettangolo di area n.

Quindi il determinare i numeri congruenti equivale a stabilire per quali valori interi di n l’equazione y2 = x3n2x abbia soluzioni razionali.

L’equazione definisce una curva ellittica e la relativa teoria ci assicura che se esiste una soluzione razionale, ne esistono infinite, che possono essere trovate tutte a partire da un numero finito di soluzioni base (teorema di Mordell, 1922); tuttavia non si conosce un metodo semplice per stabilire per quali valori di n esista una soluzione.

Dall’esistenza di infinite soluzioni, fissato n, segue che se n è congruente, esistono infiniti triangoli rettangoli con lati razionali e area n.

 

Il fatto che l’equazione abbia soluzioni intere, non vuol dire che le soluzioni abbiano numeratori e denominatori vicini a n: per n = 157 la minima soluzione è un triangolo con cateti Cateto di un triangolo rettangolo di area 157 e Cateto di un triangolo rettangolo di area 157 e ipotenusa Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area 157.

 

Nel 1879 S. Roberts dimostrò che n è congruente se e solo se esistono soluzioni intere dell’equazione xy(x2y2) = nz2.

 

Normalmente la ricerca di numeri congruenti viene limitata agli interi che non siano multipli di un quadrato, perché se un intero è congruente, moltiplicandolo per un quadrato si ottiene ancora un numero congruente (l’operazione infatti, corrisponde a moltiplicare i lati del triangolo per la base del quadrato). Viceversa un multiplo di un quadrato è congruente solo se lo è l’intero ottenuto dividendolo per il quadrato.

 

La ricerca di numeri congruenti ha radici antiche: i matematici islamici dimostrarono congruenti 5, 6, 14, 15, 21, 30, 34, 65, 70, 110, 154, 190, 210, 221, 231, 246, 290, 390, 429, 546 e 10 altri numeri maggiori.

Fibonacci, Genocchi e Gérardin, dimostrarono congruenti 7, 22, 41, 69, 77 e 43 altri numeri inferiori a 1000.

 

Fermat fu invece il primo a dimostrare che un numero non è congruente: dimostrando che 1 non appartiene alla famiglia. Di conseguenza Fermat dimostrò che nessun quadrato è congruente.

 

Nel 1915 L. Bastien trovò tutti i numeri congruenti minori di 100; vari ricercatori aggiunsero in seguito altri numeri alla lista, ma ancora nel 1980 non si sapeva se alcuni interi inferiori a 1000 fossero congruenti o meno e nel 1986 l’elenco era completo solo fino a 2000.

 

La teoria moderna delle curve ellittiche ha permesso notevoli progressi nella determinazione dei numeri congruenti; i risultati più importanti sono:

  • sono congruenti i numeri primi della forma 8k + 5 e 8k + 7 (Kurt Heegner);

  • sono congruenti i doppi dei numeri primi della forma 8k + 3 e 8k + 7 (Kurt Heegner);

  • non sono congruenti i numeri primi della forma 8k + 3 (L. Bastien 1915);

  • non sono congruenti i doppi dei numeri primi della forma 8k + 5 e 16k + 9 (L. Bastien 1915);

  • non sono congruenti i prodotti di due numeri primi della forma 8k + 3 (L. Bastien 1915);

  • non sono congruenti i prodotti di due numeri primi della forma 8k + 5 (L. Bastien 1915).

 

Supponendo vera la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer, Nelson M. Stephens dimostrò nel 1975 che sono congruenti tutti i numeri delle forme s2(8k + 5), s2(8k + 6) e s2(8k + 7).

 

Nel 1983 J.B. Tunnel dimostrò che un intero n non multiplo di un quadrato è un numero congruente:

  • se è dispari, se e solo se il numero di soluzioni intere dell’equazione 2x2 + y2 + 8z2 = n è il doppio del numero di soluzioni dell’equazione 2x2 + y2 + 32z2 = n, ovvero se il numero di soluzioni dispari dell’equazione 2x2 + y2 + 8z2 = n è uguale al numero di soluzioni pari;

  • se è pari, se e solo se il numero di soluzioni intere dell’equazione Equazione che compare nel criterio di Tunnel per numeri pari è il doppio del numero di soluzioni dell’equazione Equazione che compare nel criterio di Tunnel per numeri pari, ovvero se il numero di soluzioni intere dell’equazione Equazione che compare nel criterio di Tunnel per numeri pari con z pari è uguale al numero di soluzioni della stessa equazione con z dispari, a sua volta uguale al numero di soluzioni intere dell’equazione 4x2 + y2 + 8z2 = n.

Tunnel dimostrò anche che vale l’inverso, però supponendo vera la congettura di Birch e Swinnerton-Dyer.

Sempre supponendo vera la suddetta congettura, Tunnel ideò un criterio per stabilire se un numero n, non multiplo di un quadrato, è congruente o meno: bisogna calcolare il coefficiente di xn nello sviluppo dell’espressione Prodotto che compare nel criterio di Tunnel per numeri dispari per n dispari o quello di x elevato a n mezzi nello sviluppo dell’espressione Prodotto che compare nel criterio di Tunnel per numeri pari per n pari; se tale coefficiente è zero, n è congruente. Non è semplicissimo verificare in questo modo se un intero n sia congruente o meno, ma è pur sempre il miglior criterio universalmente valido disponibile a oggi.

Sfruttando questo criterio, nel settembre 2009 Robert Bradshaw, William B. Hart, David Harvey, Gonzalo Tornaria e Mark Watkins hanno esaminato tutti gli interi sino a 1012, trovandone 3148379694 congruenti (dal conteggio sono esclusi i multipli di quadrati e i numeri che divisi per 8 danno resto 5, 6 o 7, perché già dimostrati congruenti).

Qui trovate i numeri congruenti minori di 106 (Giovanni Resta, 2013) (4.2 Mbyte).

 

Un intero n è congruente se e solo se esistono valori interi di x e y tali che x2 + ny2 e x2ny2 siano quadrati. Infatti, se n è congruente, le due espressioni danno quadrati per Valore di x da sostituire nell'espressione e y = 1 o x = c2 e y = 4. Viceversa, se per un dato valore di n esistono x e y che rendano quadrati le due espressioni, allora un triangolo rettangolo con cateti (razionali) Cateto di un triangolo rettangolo di area nCateto di un triangolo rettangolo di area n ha ipotenusa Ipotenusa di un triangolo rettangolo di area n e area n.

Come conseguenza un intero n è congruente se e solo se esiste una progressione aritmetica di tre quadrati razionali, x2, y2 e z2, con differenza n tra termini successivi. Infatti se y2n = x2 e y2 + n = z2, vale la dimostrazione precedente e viceversa se x2 + ny2 e x2ny2 sono quadrati, dividendo per y2 abbiamo la progressione aritmetica di tre quadrati razionali (x / y)^2 – 1, (x / y)^2 e (x / y)^2 + 1.

 

La ricerca di numeri congruenti è quindi è una generalizzazione del problema risolto da Leonardo Pisano, che corrisponde al caso y = 1 (v. numeri congrua).

 

Nel 1877 Lucas dimostrò che un intero n è congruente se e solo se esistono soluzioni razionali dell’equazione y2 = x4n2: dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c e area n, basta prendere Definizione di x a partire dalle lunghezze dei lati del triangolo e Definizione di y a partire dalle lunghezze dei lati del triangolo, mentre data una soluzione, il triangolo di lati Lunghezza di un cateto ricavata dalla soluzione dell'equazioneLunghezza di un cateto ricavata dalla soluzione dell'equazioneLunghezza dell'ipotenusa ricavata dalla soluzione dell'equazione è rettangolo e ha area n.

Analogamente Lucas dimostrò che un intero n è congruente se e solo se esistono soluzioni razionali dell’equazione y2 = x4 + 4n2: dato un triangolo rettangolo di lati a, b e c e area n, basta prendere x = a e y = ac, mentre data una soluzione, il triangolo di lati a = xLunghezza di un cateto ricavata dalla soluzione dell'equazioneLunghezza dell'ipotenusa ricavata dalla soluzione dell'equazione è rettangolo e ha area n.

 

Il minimo quadrato magico di numeri congruenti consecutivi è il seguente.

 

718

701

711

703

710

707

709

719

702

 

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.