Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Talvolta si indica con π(n) il prodotto dei divisori di n; esattamente come con σ(n) se ne indica la somma. Ovvero, Formula per la definizione della funzione π.

 

La funzione ha una proprietà curiosa: se n è composto, è sempre una potenza, perché Formula per il calcolo della funzione π. Più precisamente:

  • se n ha 1 divisore, n = 1 e π(n) = n;

  • se n ha 2 divisori, è primo e π(n) = n;

  • se n ha un numero pari 2k > 2 di divisori, π(n) = nk;

  • se n ha un numero dispari 2k + 1 > 1 di divisori, allora è un quadrato, n = m2 e π(n) = m2k + 1.

L'esponente della potenza dipende quindi dal numero di divisori, che a sua volta dipende dalla scomposizione di n in fattori primi.

 

Se Scomposizione di n in fattori primi è la scomposizione di n in fattori primi, l'esponente della massima potenza di pr che divide π(n) è Massima potenza di un primo che divide π(n). Per esempio, 90 = 2 • 32 • 5, π(90) = 531441000000 e l'esponente della massima potenza di 3 che divide 531441000000 è Massima potenza di 3 che divide π(90).

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

π(n)

1

1

2

2

3

3

4

8

5

5

6

36

7

7

8

64

9

27

10

100

11

11

12

1728

13

13

14

196

15

225

16

1024

17

17

18

5832

19

19

20

8000

 

La tabella seguente mostra le forme che hanno i numeri con sino a 20 divisori; in essa p, q, r, s rappresentano primi distinti e n = m2 se n è un quadrato.

Numero divisori

Forme possibili

π(n)

2

p

n

3

p2

p3 = m3

4

p3, pq

n2

5

p4

p10 = m5

6

p5, p2q

n3

7

p6

p21 = m7

8

p7, p3q, pqr

n4

9

p8, p2q2

m9

10

p9, p4q

n5

11

p10

p55 = m11

12

p11, p5q, p3q2, p2qr

n6

13

p12

p78 = m13

14

p13, p6q

n7

15

p14, p4q2

m15

16

p15, p7q, p3q3, p2qr, pqrs

n8

17

p16

p136 = m17

18

p17, p8q, p5q2, p2q2r

n9

19

p18

p171 = m19

20

p19, p9q, p4q3, p4qr

n10

Vedi anche

Funzione Π, Funzione π*.

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