Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Comportamento asintotico della funzione π

π(n) è il numero di primi non superiori a n.

La notazione fu introdotta da Edmund Landau nel 1909. Alcuni esperti trovano la notazione infelice, perché suggerisce una sorta di legame con π, ma va anche notato che i simboli disponibili sono relativamente pochi e le funzioni di uso comune piuttosto numerose, quindi bisogna arrangiarsi.

 

Nel 1871 Ernst Meissel sviluppò un metodo per calcolare la funzione e calcolò correttamente π(108); nel 1885 arrivò a π(109), con un piccolo errore, che fu scoperto solo 70 anni dopo (v. numero di Bertelsen).

 

Formule per il calcolo della funzione; alcune sono conseguenza del teorema di Wilson e prive di applicazioni pratiche:

Formula per la funzione π (Ramanujan);

Formula per la funzione π;

Formula per la funzione π (formula di Lehmer);

Formula per la funzione π (Hardy e Wright);

Formula per la funzione π, per n > 4 (H. Laurent);

Formula per la funzione π, per n > 4;

Formula per la funzione π, per n > 1;

Formula per la funzione π, per n > 4.

 

Derivata della funzione π tende a Formula per il limite della derivata della funzione π (Ramanujan).

 

Limiti non asintotici per i valori della funzione:

  • Limite inferiore per la funzione π, per n > 0;

  • Limite inferiore per la funzione π (Erdös);

  • Limite superiore per la funzione π, per n > 113 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n > 1 (J.B. Rosser e L. Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n ≥ 17 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n > 54;

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n ≥ 59 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n > 66 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n > 598 (Pierre Dusart, 1999);

  • Limite inferiore per la funzione π, per n > 32299 (Pierre Dusart, 1999);

  • Limite superiore per la funzione π, per n > 355991 (Pierre Dusart, 1999);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n > 2953652301 (Pierre Dusart, 2010);

  • Limite superiore per la funzione π, per n > 60184 (Pierre Dusart, 1999);

  • Limite superiore per la funzione π, per n > 2180 (Jonathan Sondow)

  • Limite superiore per la funzione π, per n > 3 (Alexei Kourbatov, 2015);

  • Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra la funzione π e la funzione Li, per n > 57 (Pierre Dusart, 1999);

  • se l’ipotesi di Riemann è vera, Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra la funzione π e la funzione Li, per x ≥ 2657 (Lowell Schoenfeld, 1976);

  • Formula del teorema di Chebyshev, per n > 4 (teorema di Chebyshev, 1854).

 

Il valore massimo di Rapporto che coinvolge la funzione π si raggiunge per n = 113: Valore massimo del rapporto.

 

π(2n)< 2π(n) per n > 10 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962).

 

Limite inferiore per π(2 * n) – π(n), per n > 20 (J.B. Rosser, 1938).

 

Limite inferiore per π(2 * n) – π(n), per n ≥ 8000 (Erdös).

 

Limite inferiore per 2 * π(n / 2) – π(n), per n > 712000 (L. Hajdu, N. Saradha e Robert Tijdeman).

Limite inferiore per 2 * π(x + y) – π(x) – π(x + 2 * y), per x > 58 e x > y, e se l’ipotesi di Riemann è vera, Limite inferiore per 2 * π(x + y) – π(x) – π(x + 2 * y), per x > 2656 e x > y, dove θ = 2π, se x + 2y > 1014, θ = 2π altrimenti (L. Hajdu, N. Saradha e Robert Tijdeman).

Differenza tra π(n) e π(n/2) per n ≥ 2, 11, 17, 29, 41, … (v. primi di Ramanujan); il primo caso corrisponde al postulato di Bertrand.

 

Ramanujan dimostrò che per n sufficientemente grande Limite superiore per il quadrato della funzione π; il massimo primo noto per il quale la diseguaglianza non sia vera è 38358837677. La diseguaglianza simile Limite superiore per il quadrato della funzione Li vale per n ≥ 2418 e per nessun intero inferiore.

 

Una buona approssimazione è Approssimazione per la funzione π (Locker-Ernst, 1959).

 

Gli unici interi noti per i quali π(n) = φ(n) sono: 2, 3, 4, 8, 14, 20 e 90. Per esempio, π(20) = φ(20) = 8. Se ne esiste un altro, è superiore a 1000000.

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

π(n)

1

0

2

1

3

2

4

2

5

3

6

3

7

4

8

4

9

4

10

4

11

5

12

5

13

6

14

6

15

6

16

6

17

7

18

7

19

8

20

8

 

La tabella seguente mostra i valori della funzione per alcune potenze di 10; l’Autore si riferisce a chi per primo ha calcolato il valore o, nei primi casi, a chi per primo l’ha esplicitamente menzionato.

n

π(n)

Autore

10

4

 

102

25

L. Pisano, 1202

103

168

F. van Schooten, 1657

104

1,229

F. van Schooten, 1657

105

9,592

T. Brancker, 1668

106

78,498

A. Felkel, 1785

107

664,579

J. P. Kulik, 1867

108

5,761,455

Meissel, 1871 (corretto)

109

50,847,534

Meissel, 1886 (corretto)

1010

455,052,511

Lehmer, 1959

1011

4,118,054,813

Bohmann, 1972

1012

37,607,912,018

 

1013

346,065,536,839

 

1014

3,204,941,750,802

Lagarias et al., 1985

1015

29,844,570,422,669

Lagarias et al., 1985

1016

279,238,341,033,925

Lagarias et al., 1985

1017

2,623,557,157,654,233

M. Deleglise e J. Rivat, 1994

1018

24,739,954,287,740,860

M. Deleglise e J. Rivat, 1996

1019

234,057,667,276,344,607

M. Deleglise, 1996

1020

2,220,819,602,560,918,840

M. Deleglise, 1996

1021

21,127,269,486,018,731,928

 

1022

201,467,286,689,315,906,290

P. Demichel e X. Gourdon, 2001

1023

1,925,320,391,606,803,968,923

T. Oliveira e Silva, 2008

 

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.