Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Comportamento asintotico della funzione π

π(n) è il numero di primi non superiori a n.

La notazione fu introdotta da Edmund Landau nel 1909. Alcuni esperti trovano la notazione infelice, perché suggerisce una sorta di legame con π, ma va anche notato che i simboli disponibili sono relativamente pochi e le funzioni di uso comune piuttosto numerose, quindi bisogna arrangiarsi.

 

Nel 1871 Ernst Meissel sviluppò un metodo per calcolare la funzione e calcolò correttamente π(108); nel 1885 arrivò a π(109), con un piccolo errore, che fu scoperto solo 70 anni dopo (v. numero di Bertelsen).

 

Formule per il calcolo della funzione; alcune sono conseguenza del teorema di Wilson e prive di applicazioni pratiche:

Formula per la funzione π (Ramanujan);

Formula per la funzione π;

Formula per la funzione π (formula di Lehmer);

Formula per la funzione π (Hardy e Wright);

Formula per la funzione π;

Formula per la funzione π, per n > 2;

Formula per la funzione π, per n > 4 (H. Laurent);

Formula per la funzione π, per n > 4;

Formula per la funzione π, per n > 1;

Formula per la funzione π, per n > 4;

Formula per la funzione π (Sebastián Martín Ruiz e Jonathan Sondow, 2002).

 

Derivata della funzione π tende a Formula per il limite della derivata della funzione π (Ramanujan).

 

Limiti non asintotici per i valori della funzione:

  • Limite inferiore per la funzione π, per n > 0;

  • Limite inferiore per la funzione π (Erdös);

  • Limite superiore per la funzione π, per n > 113 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n > 1 (J.B. Rosser e L. Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n ≥ 17 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n > 54;

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n ≥ 59 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n > 66 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962);

  • Limiti inferiore e superiore per la funzione π, per n > 598 (Pierre Dusart, 1999);

  • Limite inferiore per la funzione π, per n > 32299 (Pierre Dusart, 1999);

  • Limite superiore per la funzione π, per n > 355991 (Pierre Dusart, 1999);

  • Limite inferiore per la funzione π, per n ≥ 88783 (Pierre Dusart, 2010);

  • Limite superiore per la funzione π, per n ≥ 2953652301 (Pierre Dusart, 2010);

  • Limite superiore per la funzione π, per n ≥ 5393 (Pierre Dusart, 1999);

  • Limite superiore per la funzione π, per n ≥ 60184 (Pierre Dusart, 1999);

  • Limite superiore per la funzione π, per n > 2180 (Jonathan Sondow)

  • Limite superiore per la funzione π, per n > 3 (Alexei Kourbatov, 2015);

  • Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra la funzione π e la funzione Li, per n > 57 (Pierre Dusart, 1999);

  • se l’ipotesi di Riemann è vera, Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra la funzione π e la funzione Li, per x ≥ 2657 (Lowell Schoenfeld, 1976);

  • se l’ipotesi di Riemann è vera, Limite superiore per il valore assoluto della differenza tra la funzione π e la funzione Li, per x ≥ 5639 (Pierre Dusart, 2018);

  • Formula del teorema di Chebyshev, per n > 4 (teorema di Chebyshev, 1854).

 

Il valore massimo di Rapporto che coinvolge la funzione π si raggiunge per n = 113: Valore massimo del rapporto.

 

π(2n) < 2π(n) per n > 10 (J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld, 1962).

 

Limite inferiore per π(2 * n) – π(n), per n > 20 (J.B. Rosser, 1938).

 

Limite inferiore per π(2 * n) – π(n), per n ≥ 8000 (Erdös).

 

Limite inferiore per 2 * π(n / 2) – π(n), per n > 712000 (L. Hajdu, N. Saradha e Robert Tijdeman).

 

π(x + y) < π(x)π(y) (H. Ishikawa, 1934).

 

Al crescere di x π(x + y) – π(x) tende a y^(7 / 12) / log(x)  (D.R. Heath-Brown, 1988).

 

π(x)π(y) ≤ π(xy), per x e y almeno uguali a sqrt(53) (Gabriel Mincu e Laurenţiu Panaitopol, 2007).

 

Limite inferiore per 2 * π(x + y) – π(x) – π(x + 2 * y), per x > 58 e x > y, e se l’ipotesi di Riemann è vera, Limite inferiore per 2 * π(x + y) – π(x) – π(x + 2 * y), per x > 2656 e x > y, dove θ = 2π, se x + 2y > 1014, θ = 2π altrimenti (L. Hajdu, N. Saradha e Robert Tijdeman).

Differenza tra π(n) e π(n/2) per n ≥ 2, 11, 17, 29, 41, … (v. primi di Ramanujan); il primo caso corrisponde al postulato di Bertrand.

 

Ramanujan dimostrò che per n sufficientemente grande Limite superiore per il quadrato della funzione π; il massimo primo noto per il quale la diseguaglianza non sia vera è 38358837677. La diseguaglianza simile Limite superiore per il quadrato della funzione Li vale per n ≥ 2418 e per nessun intero inferiore.

 

Una buona approssimazione è Approssimazione per la funzione π (Locker-Ernst, 1959).

 

Dato che π(n) tende a Li(n), si può usare l’espansione in serie Espansione in serie della funzione Li(x) per approssimare π(n). Se la serie, che non è convergente per ogni valore di x, viene troncata, si ottiene un’approssimazione in eccesso per i primi valori di n, ma all’aumentare di n la somma troncata può diventare a volte inferiore, a volte superiore, infine resta sempre inferiore.

Per esempio, la somma dei primi 2 termini, n / log(n) + n / log(n)^2, per n = 73 vale circa 20.9801528413, mentre π(73) = 21.

 

La tabella seguente mostra a partire da quale valore di n la somma dei primi k termini della serie sia per la prima volta in difetto.

k

n

0

2

1

7

2

73

3

1627

4

230387

5

12870973

6

3736935913

7

330645100273

 

Leo Moser dimostrò nel 1951 che gli unici interi noti per i quali π(n) = φ(n) sono: 2, 3, 4, 8, 10, 14, 20 e 90. Per esempio, π(20) = φ(20) = 8.

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

π(n)

1

0

2

1

3

2

4

2

5

3

6

3

7

4

8

4

9

4

10

4

11

5

12

5

13

6

14

6

15

6

16

6

17

7

18

7

19

8

20

8

 

La tabella seguente mostra i valori della funzione per alcune potenze di 10; l’Autore si riferisce a chi per primo ha calcolato il valore o, nei primi casi, a chi per primo l’ha esplicitamente menzionato.

n

π(n)

Autore

10

4

 

102

25

L. Pisano, 1202

103

168

F. van Schooten, 1657

104

1,229

F. van Schooten, 1657

105

9,592

T. Brancker, 1668

106

78,498

A. Felkel, 1785

107

664,579

J. P. Kulik, 1867

108

5,761,455

Meissel, 1871 (corretto)

109

50,847,534

Meissel, 1886 (corretto)

1010

455,052,511

Lehmer, 1959

1011

4,118,054,813

Bohmann, 1972

1012

37,607,912,018

 

1013

346,065,536,839

 

1014

3,204,941,750,802

Jeffrey Lagarias et al., 1985

1015

29,844,570,422,669

Jeffrey Lagarias et al., 1985

1016

279,238,341,033,925

Jeffrey Lagarias et al., 1985

1017

2,623,557,157,654,233

M. Deleglise e J. Rivat, 1994

1018

24,739,954,287,740,860

M. Deleglise e J. Rivat, 1996

1019

234,057,667,276,344,607

M. Deleglise, 1996

1020

2,220,819,602,560,918,840

M. Deleglise, 1996

1021

21,127,269,486,018,731,928

 

1022

201,467,286,689,315,906,290

P. Demichel e X. Gourdon, 2001

1023

1,925,320,391,606,803,968,923

T. Oliveira e Silva, 2008

 

Nel 1987 Jeffrey Lagarias e A.M. Odlyzko 32 svilupparono algoritmi per calcolare π(n) in un tempo all’incirca proporzionale alla radice quadrata di n.

 

Samuel Golomb dimostrò che al crescere di nn / π(n) assume tutti i valori interi. La tabella riporta i valori di n che rendono per la prima volta il rapporto uguale a ogni intero. Curiosamente, nel caso di 11 e solo in quel caso si conosce una sola soluzione.

n

π(n)

Rapporto

2

1

2

27

9

3

96

24

4

330

66

5

1008

160

6

3059

437

7

8408

1051

8

23526

2614

9

64540

6454

10

175197

15927

11

480852

40071

12

1304498

100346

13

3523884

251706

14

9557955

637197

15

25874752

1617172

16

70115412

4124436

17

189961182

10553399

18

514272411

27066969

19

1394193580

69709679

20

3779849598

179992838

21

10246935644

465769802

22

27788566029

1208198523

23

75370121160

3140421715

24

204475052375

8179002095

25

554805820556

21338685406

26

1505578023621

55762149023

27

4086199301996

145935689357

28

11091501630949

382465573481

29

30109570412400

1003652347080

30

81744303089590

2636913002890

31

221945984401280

6935812012540

32

602656752070527

18262325820319

33

1636523496705466

48133044020749

34

4444280714420575

126979448983445

35

12069948025326672

335276334036852

36

32781729631790293

885992692751089

37

89038728550467484

2343124435538618

38

241849345578326577

6201265271239143

39

656943924741197840

16423598118529946

40

1784546064357412171

43525513764814931

41

4847770656544878888

115423110870116164

42

13169525310647352914

306268030480170998

43

35777578362249369360

813126780960212940

44

97199410027249992915

2159986889494444287

45

264075047224548917472

5740761896185846032

46

717466145742128063267

15265237143449533261

47

1949328764391662651424

40611015924826305238

48

5296363488157501280423

108089050778724515927

49

14390600632080526061850

287812012641610521237

50

 

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Prime Obsession, Washington D.C., Joseph Henry Press, 2003.

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