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“abc” (congettura)

Congetture  Teoria dei numeri 

Nel 1981 W. Wilson Stothers e R.C. Mason dimostrarono che se A(x), B(x) e C(x) sono polinomi senza fattori primi in comune e tali che A(x) + B(x) = C(x), allora max(deg(A(x)), deg(B(x)), deg(C(x))) ≤ deg(rad(A(x)B(x)C(x))) – 1, dove rad(P(x)) è il polinomio di grado minimo che ha le stesse radici di P(x), quindi deg(rad(A(x)B(x)C(x))) è il numero di radici distinte dei tre polinomi.

 

Questo teorema spinse Masser a formulare nel 1985 una congettura analoga sugli interi, che sostanzialmente afferma che dati tre numeri naturali positivi, uno dei quali uguale alla somma degli altri due, non possono essere tutti e tre il prodotto di pochi numeri primi relativamente piccoli.

La congettura riguarda il cosiddetto “radicale” di un intero n, indicato come rad(n) o Π(n) e definito come il prodotto dei fattori primi di n, presi con esponente 1. Per esempio, rad(12) = 6, perché 12 = 22 • 3 e 2 • 3 = 6. Se n non è un multiplo di un quadrato, rad(n) = n. V. funzione Π.

 

Se c = a + b, di solito c < rad(abc); per esempio, con a = 100 e b = 33, abbiamo c = 133 e rad(abc) = (2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 19) = 43890.

La congettura riguarda le eccezioni, affermando che per ogni per ogni ε > 0, esiste solo un numero finito di casi nei quali c > rad(abc)1 + ε.

 

Oesterlé riformulò la congettura nel 1988 come segue: per ogni ε > 0, esiste una costante K(ε) tale che per ogni terna di interi a, b e c, privi di divisori comuni e tali che c = a + b, vale c < K(ε)r(abc)1 + ε.

 

Una terza formulazione è che per ogni per ogni ε > 0, esiste solo un numero finito di terne di interi a, b e c, privi di divisori comuni e con c = a + b, tali che Formula per al definizione della congettura “abc”.

 

Masser dimostrò che il rapporto rad(abc) / c può essere reso piccolo a piacere scegliendo opportunamente a e b. Per esempio, se a = 1, b = 26n – 1, allora c = 26n e rad(abc) < 2/3 c e più in generale se a = 1, b = 2p(p – 1)n – 1, con p primo, allora c = 2p(p – 1)n, b è multiplo di p2 e rad(abc) < 2/p c.

Questi casi mostrano che vi sarebbero infinite eccezioni prendendo ε = 0.

 

La congettura afferma che rad(abc)^x / c, con x > 1 ha invece un limite superiore finito e maggiore di zero per x > 1.

 

Un parametro comunemente usato per “misurare” le eccezioni è la “qualità” di una terna, definita come Formula per la definizione della qualità di una terna; il record attuale appartiene a Eric Reyssat, con la terna a = 2, b = 310109 = 6436341, c = 6436343 = 235, per la quale rad(abc) = 2 • 3 • 23 • 109 = 15042 e la qualità è circa 1.6299116841.

Sono note oltre 23.1 milioni di triple a, b e c con c > rad(abc) ed è in corso una ricerca in rete per catalogare tutte quelle con c < 1020.

 

Nel 2000 van Frankenhuysen dimostrò che esistono infinite somme per le quali Formula per il valore minimo di logc, con Formula per il valore di K.

 

La congettura pone un limite lineare tra c e il radicale di abc; i migliori risultati noti per ora sono alcuni limiti esponenziali:

  • Limite superiore per c, con K costante (C.L. Stewart e Robert Tijdeman, 1986);

  • Limite superiore per c, con K costante (C.L. Stewart e Kunrui Yu, 1991);

  • Limite superiore per c (Wong Chi Ho, 1999);

  • Limite superiore per c, con K costante (C.L. Stewart e Kunrui Yu, 2001);

  • Limite superiore per c, dove K è una costante e papbpc sono i massimi primi che dividono rispettivamente a, b e c (C.L. Stewart e Kunrui Yu, 2001).

 

Questa congettura lega tra loro le proprietà additive e quelle moltiplicative degli interi in un modo notevole e ricco di conseguenze, ma sfortunatamente sembra molto difficile da provare.

Se fosse vera, avrebbe molte interessanti conseguenze, tra le quali:

  • l’ultimo teorema di Fermat (dimostrato da Wiles nel 1995) ammette un numero finito di eccezioni per esponenti maggiori di 2 (A. Granville, 2002); infatti, se esiste un numero finito di terne tali che c > (1 + 1 / 2) * rad(abc), nel caso dell’equazione di Fermat xn + yn = zn, con a = xn, b = yn, c = zn, abbiamo un numero finito di soluzioni per le quali log(z^n) > (1 + 1 / 2) * rad(x^n * y^n * z^n) e dato che rad(xnynzn) = rad(xyz) < z3, a maggior ragione un numero finito di soluzioni per le quali log(z^n) > 3 / 2 * log(z^3), ovvero n * log(z^n) > 9 / 2 * log(z), e quindi un numero finito di soluzioni per n > 4 (l’assenza di soluzioni per n < 5 era già stata dimostrata da Fermat ed Eulero)

  • fissati tre interi a, b e c, l’equazione axn + bym = czl ha solo soluzioni intere banali per esponenti abbastanza grandi; in particolare l’equazione axn + byn = czn ha al massimo due soluzioni non banali se n è maggiore di un intero (sconosciuto) indipendente da a, b e c e non ne ha se n è maggiore di un intero che dipende da a, b e c;

  • fissato un intero a, l’equazione xnym = a ha un numero finito di soluzioni con n e m maggiori di 1;

  • per a, b e c fissati e 1 /n + 1 / m < 1, l’equazione axn + bym = c ha un numero finito di soluzioni intere; in particolare l’equazione axn + byn = czn ha al massimo due soluzioni non banali se n è maggiore di un intero (sconosciuto) indipendente da a, b e c e non ne ha se n è maggiore di un intero che dipende da a, b e c;

  • la forma debole della congettura di Hall (Abderrahmane Nitaj, 1996);

  • la congettura di Erdös – Woods;

  • la congettura di Fermat – Catalan (Carl Pomerance, 2008);

  • la congettura di Mordell, dimostrata vera da Gerd Faltings in altro modo nel 1983 (Noam D. Elkies, 1991);

  • la congettura di Pillai;

  • per qualsiasi valore positivo di ε, le coppie di numeri potenti con differenza fissata e minori di n sono meno di nε per n abbastanza grande;

  • esiste al massimo un numero finito di terne di numeri potenti consecutivi (v. congetture di Erdös sui numeri potenti);

  • per ogni intero a > 1, esistono infiniti primi p tali che ap – 1 diviso per p2 non dà resto 1, quindi esistono infiniti primi non di Mirimanoff o di Wieferich, in particolare almeno Clogn primi non di Wieferich non superiori a n per una qualche costante C (Joseph H. Silverman, 1988);

  • per ogni coppia di interi a e b, maggiori di zero e primi tra loro, gli interi della forma an ± bn che sono potenti è finito; in particolare i numeri di Mersenne e di Fermat potenti sono in numero finito;

  • i numeri di Fibonacci o Lucas potenti o multipli di numeri potenti sono in numero finito;

  • per ogni ε > 0, k > 1 e n abbastanza grande, vi è al massimo un numero k-potente nell’intervallo Intervallo (n .. n + n^(1 – (2 + ε) / k)) (Jean-Marie De Koninck, Florian Luca e Igor E. Shaparlinski, 2005);

  • i quadrati della forma n! + k2 (v. fattoriali) sono in numero finito (Andrzej Dąbrowski, 1996);

  • tutti i polinomi della forma Somma delle podtenze di x da x a x^(n - 1) assumono, al variare dell’intero x, infiniti valori che non sono multipli di quadrati (Browkin 2000);

  • se un polinomio in una variabile a coefficienti interi ha almeno 3 zeri semplici o è di grado almeno 2 e ha solo zeri semplici, può assumere solo un numero finito di valori che siano potenze per valori interi della variabile; per esempio, esiste un numero finito di valori di n per i quali n3 + n + 1 è una potenza;

  • il teorema di Thue – Siegel – Roth (v. numeri di Lagrange) (E. Bombieri, 1994).

Alcune di queste conseguenze sono state dimostrate vere in altro modo e quasi tutte le conseguenze non ancora dimostrate sono ritenute vere dagli esperti, ma sfortunatamente questo non basta a dimostrare la congettura.

Erdös – Woods

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