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Il più semplice numero naturale.

 

Curiosamente gli antichi Greci generalmente non consideravano uno come un numero naturale.

 

Verso la fine del Medio Evo uno, ormai accettato tra i numeri naturali, venne comunemente considerato primo (dopotutto, non ha divisori diversi da se stesso).

Nel XIX secolo però prevalse l’idea di non considerare uno come numero primo, per non dover aggiungere una clausola a un’infinità di teoremi, che avrebbero dovuto contenere frasi come: “Dato un numero primo maggiore di uno…”. Inoltre la teoria dei gruppi e l’algebra astratta richiedevano che l’unità fosse trattata separatamente, quindi si arrivò alla concezione moderna, ossia che i numeri naturali si dividono in primi, composti e… uno.

Questa visione ebbe precursori nell’antichità: Sant’Isidoro da Siviglia (Cartagena, 560 circa – Siviglia, 636) scriveva: “Inparium numerorum alii simplices sunt, alii conpositi, alii mediocres. Simplices sunt, qui nullam aliam partem habent nisi solam unitatem, ut ternarius solam tertiam, et quinarius solam quintam, et septenaruis solam septimam. His enim una pars sola est” (Tra i numeri dispari, alcuni sono semplici [primi], alcuni composti, altri una via di mezzo [appartengono a un'altra categoria]. Sono semplici quelli che non hanno alcun altro divisore [oltre a se stessi] se non la sola unità, come tre ha solo la terza parte [è divisibile solo per tre], cinque solo la quinta e sette solo la settima. Questi hanno una sola parte [un solo divisore]).

Però Sant’Isidoro era ancora succube della visione greca dei numeri, perché aggiungeva: “Nam unum semen numeri esse, non numerum.” (Infatti uno è il seme dei numeri, non un numero).

 

Può forse un numero così semplice porre problemi? Infiniti. Per esempio, nel 1936 Sierpiński propose il problema di trovare insiemi di numeri razionali tali che la loro somma e il loro prodotto siano uno.

Gli unici due numeri che abbiano somma e prodotto uno sono complessi: I due numeri con somma e prodotto uguali a uno; nel 1960 J.W.S. Cassels dimostrò che non esistono insiemi di 3 numeri razionali con questa proprietà.

Nel 1979 H.E. Bohigian dimostrò che esistono infiniti insiemi di 4 o più numeri razionali: per ogni intero positivo n, basta infatti prendere:

  • Insieme di quattro numeri razionali con somma e prodotto uguali a uno, come insieme di 4 elementi;

  • Insieme di cinque numeri razionali con somma e prodotto uguali a uno, come insieme di 5 elementi;

  • Insieme di sei numeri razionali con somma e prodotto uguali a uno, come insieme di 6 elementi;

  • Insieme di sette numeri razionali con somma e prodotto uguali a uno, come insieme di 7 elementi.

Per ottenere insiemi con un numero maggiore di elementi basta aggiungere ripetutamente i quattro elementi 1, 1, –1, –1 a uno di questi.

 

Non può mancare un’approssimazione per calcolare questa importante costante; vi propongo –(π + 20)i, che dà 9 cifre decimali corrette per la parte reale, ma solo 4 per quella immaginaria.

Se invece volete un metodo esatto, propongo: Formula per il calcolo di 1, per qualsiasi valore 0 ≤ x < 1, oppure Frazione continua per il calcolo di 1, per qualsiasi x reale, tranne gli interi negativi.

Bibliografia

  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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