Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Partizioni (numero di)

Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà modulari dei numeri di partizioni
  3. 3. Partizioni con vincoli sul numero di parti
  4. 4. Partizioni con vincoli sul tipo di parti

Il numero di partizioni di n in parti maggiori di 1, nelle quali non compaiano numeri consecutivi è uguale numero di partizioni di n nelle quali nessun numero compare esattamente una volta.

 

Il numero di partizioni di n in interi consecutivi è uguale al doppio del numero di divisori dispari di n, escludendo 1 e n, ovvero, rappresentando n come prodotto di potenze di primi distinti come Rappresentazione di n come prodotto di potenze di primi distinti, è Formula per il numero di partizioni di n in interi consecutivi. Per esempio, 15 ha 2 divisori dispari, 3 e 5, e quindi 4 rappresentazioni del genere:

  • 15 = 15;

  • 15 = 7 + 8;

  • 15 = 4 + 5 + 6;

  • 15 = 1 + 2 + 3 + 4.

 

Il numero di partizioni di n in interi distinti q(n) è uguale al numero di partizioni di n in interi dispari (Eulero, 1748); per la dimostrazione si veda Mathematical gems III o Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, citati nella bibliografia).

Nel 1882 F Franklin generalizzò questo teorema, dimostrando che il numero di partizioni di n in interi non divisibili per k è uguale al numero di partizioni di n in interi, ciascuno dei quali compare meno di k volte. La generalizzazione è nota anche come “teorema di Glaisher”.

 

Il numero di partizioni di n nelle quali solo i numeri non divisibili per 2m possono essere ripetuti è uguale numero di partizioni di n nelle quali nessun numero compare più di 2m + 1 – 1 volte e in particolare il numero di partizioni di n nelle quali solo i numeri dispari possono essere ripetuti è uguale al numero di partizioni di n nelle quali nessun numero compare più di 3 volte e al numero di partizioni di n nelle quali nessuna parte è un multiplo di 4.

 

Il numero di partizioni di n nelle quali ogni parte capita esattamente 2, 3 o 5 volte è uguale al numero di partizioni di n nelle quali ogni parte parte è congruente a 2, 3, 6, 9 o 10 modulo 12.

 

Il numero di partizioni di n nelle quali nessuna parte capita una sola volta è uguale al numero di partizioni di n nelle quali ogni parte è congruente a 1 o 5 modulo 6.

 

Il numero di partizioni di n nelle quali ogni parte non capita più di d volte è uguale al numero di partizioni di n nelle quali nessuna parte è un multiplo di d + 1.

 

Il numero di partizioni di n nelle quali le parti minima e massima sono uniche è al massimo il doppio del numero di partizioni di n nelle quali la parte massima è dispari e quella minima è minore della metà della massima.

 

Il numero di partizioni di n in parti uguali è d(n).

 

Il teorema di Rogers (Leonard James Rogers, Oxford, 30/3/1862 – Oxford, 12/9/1933) afferma che il numero di partizioni di n in interi con differenza minima 2 è uguale al numero di partizioni di n in interi della forma 5m + 1 e 5m + 4.

Il numero di partizioni di n in interi non inferiori a 2 e con differenza minima 2 è uguale al numero di partizioni di n in interi della forma 5m + 2 e 5m + 3.

 

R.L. Graham dimostrò nel 1963 che ogni intero n > k si può suddividere in interi maggiori di un valore fissato m, i reciproci dei quali hanno per somma un intero s fissato, dove k dipende da m e s. V. numeri egizi e numeri strettamente egizi.

 

Se consideriamo le partizioni non in interi qualsiasi, ma in interi appartenenti a insiemi S e T, si può dimostrare che il numero di partizioni di n in interi appartenenti a S è uguale al numero di partizioni in interi distinti appartenenti a T per qualsiasi valore di n se e solo se T contiene per ogni valore k anche tutti i numeri della forma 2mk e S è formato dagli interi dispari contenuti in T (quindi S può essere finito, mentre T è per forza infinito), nel qual caso si dice che i due insiemi formano una coppia di Eulero.

Bibliografia

  • Andrews, G.E.;  The Theory of Partitions, Cambridge University Press, 1984.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.
  • Dunham, William;  Euler, the Master of Us All, The Mathematical Association of America, 1999.
  • Guy, Richard K.;  Larson, Loren;  Vaderlind, Paul;  The Inquisitive Problem Solver, The Mathematical Association of America, 2002 -

    Una buona raccolta di problemi non troppo complessi, spesso con generalizzazioni interessanti.

  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.