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Partizioni (numero di)

Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà modulari dei numeri di partizioni
  3. 3. Partizioni con vincoli sul numero di parti
  4. 4. Partizioni con vincoli sul tipo di parti

Ramanujan, scorrendo una tabella dei primi 200 numeri di partizioni, compilata a mano, notò alcune proprietà ripetitive: per esempio, un numero ogni 5 è divisibile per 5. In breve tempo, sorprendendo il mondo della matematica, dimostrò che valgono le seguenti proprietà generali:

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n dispari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n dispari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n dispari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n dispari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n dispari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n dispari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n dispari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n pari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n pari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n pari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n pari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n pari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n pari;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per n pari;

  • p(35n + 19) ≡ 0 mod 35;

 

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per k pari e maggiore di 0 e in particolare p(25n + 24) ≡ 0 mod 25;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per k dispari e maggiore di 1;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per k dispari e in particolare p(5n + 4) ≡ 0 mod 5;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni, per k dispari e maggiore di 1;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni e in particolare p(7n + 5) ≡ 0 mod 7 e p(49n + 47) ≡ 0 mod 49;

  • Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni e in particolare p(11n + 6) ≡ 0 mod 11 e p(121n + 116) ≡ 0 mod 121 (Ramanujan, 1920), dimostrata da J.M. Rushforth nel 1952;

  • se 24n ≡ 1 mod 5a7b11c, p(n) ≡ 0 mod 5a7b + 111c;

  • p(17 • 232n + 2623) ≡ 0 mod 17.

A proposito dell’ultima Dyson annotò che bisogna essere amici personali di 17 e 23, prima di poter sperare di scoprire una formula del genere.

 

O. Kolberg dimostrò nel 1959 che esistono infiniti numeri di partizioni pari e infiniti dispari.

 

P. Erdös e A. Ivić nel 1989 avanzarono la congettura che vi siano infiniti primi che dividono i numeri di partizioni (v. congettura di Erdös e Ivić). A. Schinzel dimostrò vera la congettura e Erdös rilanciò con una versione più forte: per ogni numero primo p, vi è almeno un valore di p(n) multiplo di p.

Già nel 1960 M. Newman aveva avanzato la congettura, ben più forte, che per ogni intero positivo m e ogni valore 0 ≤ r < m, vi siano infiniti interi positivi n tali che p(n) ≡ r mod m.

 

Gli specialisti si misero all’opera, ma in alcuni decenni furono provate solo poche altre proprietà analoghe, come:

  • p(125n + 99) ≡ 0 mod 125 (W. Krečmar, 1933);

  • p(n) ≡ 0 mod 5k , se 24n ≡ 1 mod 5k (G. N. Watson, 1938);

  • p(n) ≡ 0 mod 7k , se 24n ≡ 1 mod 72k – 2, per k > 1 (G.N. Watson, 1938);

  • p(113 • 13n + 237) ≡ 0 mod 13 (A.O.L. Atkin e J.N. O’Brien, 1967);

  • p(n) ≡ 0 mod 11k , se 24n ≡ 1 mod 11k (proposta da Ramanujan e dimostrata da A.O.L. Atkin nel 1967);

Fu però anche dimostrato che congruenze semplici della forma p(pn + k) ≡ 0 mod p esistono solo per p uguale a 5, 7 e 11.

 

Infine Ken Ono, lavorando sulla teoria delle forme modulari, dimostrò nel 2000 che relazioni simili valgono per tutti i numeri primi maggiori di 3, non solo per 5, 7, 11, 13 e 17.

In particolare Ono dimostrò che per ogni primo p e ogni intero k, esistono infiniti primi q tali che Congruenza che coinvolge i numeri di partizioni per ogni intero n non negativo e non multiplo di q. Questo dimostra in particolare che anche la congettura più forte di Erdös è vera.

La dimostrazione di Ono, però, non è costruttiva: indica solo che, fissato un numero primo, esiste una progressione aritmetica di interi, tali che i corrispondenti numeri di partizioni sono divisibili per quel primo, ma non come trovarla. Rhiannon L. Weaver trovò un algoritmo per identificare tali progressioni, trovando oltre 70000 esempi che coinvolgono solo i primi da 13 a 31.

I numeri che compaiono in queste progressioni sono enormi e questo spiega perché i matematici che seguirono le orme di Ramanujan non riuscirono a identificarle: essi consultavano, infatti, tabelle relativamente limitate, cercando disposizioni regolari di interi divisibili per vari numeri primi, senza arrivare a vedere spesso neppure l’inizio delle progressioni.

E’ curioso notare che nei primi 30 anni del secolo, quando non esistevano aiuti per il calcolo automatico, il problema venne affrontato computazionalmente, mentre ora che enormi tabelle possono essere calcolate con relativa facilità, il problema è stato affrontato con metodi esclusivamente teorici.

Nonostante questi progressi, non si conoscono ancora relazioni analoghe per 2 e 3 e, sebbene siano noti numerosi valori di p(n) multipli di 3, non è stato dimostrato che siano infiniti.

 

Nel 2001 Ono e Scott Ahigren dimostrarono che esistono congruenze del genere modulo qualsiasi intero non multiplo di 2 o 3.

 

La congettura di Newmann è stata provata da Ono per tutti i numeri primi minori di 1000, tranne 3, ma il caso generale resta aperto.

 

Ramanujan avanzò alcune congetture sul comportamento asintotico dei possibili resti del numero di partizioni p(n) modulo alcuni primi:

  • i valori dispari di p(n) sono mediamente più frequenti di quelli pari;

  • i possibili resti di p(n) modulo 3 hanno la stessa frequenza media;

  • per p uguale a 5, 7 e 11 valori di p(n) multipli di p hanno frequenza media 2 / (p + 1), gli altri possibili resti di p(n) modulo p capitano con la stessa frequenza media, uguale a 1 / (p + 1).

Alcuni esperti ritengono più probabile che i valori pari abbiano la stessa frequenza media di quelli dispari e che per p uguale a 5, 7 e 11 valori di p(n) multipli di p abbiano frequenza media (2 * p – 1) / p^2 e gli altri possibili resti di p(n) modulo p capitino con la stessa frequenza media, uguale a (p – 1) / p^2. I dati sperimentali sembrano confermare queste ipotesi.

Gli unici risultati disponibili, dovuti a J.-L. Nicolas, I.Z. Ruzsa, A. Sárközy e J.-P. Serre (1998) e S. Ahlgren (1999) sono:

  • i valori pari di p(k) per k ≤ n sono più di sqrt(n);

  • i valori di p(n) non divisibili per un intero m (e in particolare i valori dispari) per k ≤ n sono più di sqrt(n) / log(n).

 

Dalle dimostrazioni di Kolberg e Ono segue che esistono infiniti valori di p(n) composti, mentre non è stato dimostrato che ne esistano infiniti primi. Gli interi n minori di 1000 tali che p(n) sia primo sono: 2, 3, 4, 5, 6, 13, 36, 77, 132, 157, 168, 186, 188, 212, 216, 302, 366, 417, 440, 491, 498, 525, 546, 658, 735, 753, 825, 841, 863. Il massimo valore noto di n che rende p(n) primo è 82352631 (Minovic, 2005).

Qui trovate gli interi n minori di 107 tali che p(n) sia primo (David W. Wilson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Nel 1954 A.O.L. Atkin e P. Swinnerton-Dyer scoprirono alcune curiose congruenze:

  • Congruenza che coinvolge somme di numeri di partizioni;

  • Congruenza che coinvolge somme di numeri di partizioni;

  • Congruenza che coinvolge somme di numeri di partizioni;

  • Congruenza che coinvolge somme di numeri di partizioni.

 

Per i numeri per i quali n divide p(n) v. numeri perfettamente partizionati.

 

Per quanto riguarda q(n) sono state dimostrate solo alcune congruenze, come q(n) ≡ 0 mod 5k , se 24n ≡ –1 mod 52k + 1 (B. Gordon e K. Hughes, 1981).

 

I valori di q(n) sono dispari se e solo se n è un numero pentagonale generalizzato, quindi sono infiniti, ma diventano via via più rari al crescere di n e di conseguenza i numeri primi noti tra essi sono pochi e potrebbero essere in numero finito.

 

Gli unici interi noti per i quali q(n) sia primo sono mostrati nella tabella seguente; se ne esistono altri, sono maggiori di 107 (Max Alexeyev, 2009).

n

q(n)

3

2

4

2

5

3

7

5

22

89

70

29927

100

444793

495

602644050950309

1247

5907806880101973271193081

2072

442874899733097781915111718440153

320397

 

3335367

 

 

Bibliografia

  • Andrews, G.E.;  The Theory of Partitions, Cambridge University Press, 1984.
  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.
  • Dunham, William;  Euler, the Master of Us All, The Mathematical Association of America, 1999.
  • Guy, Richard K.;  Larson, Loren;  Vaderlind, Paul;  The Inquisitive Problem Solver, The Mathematical Association of America, 2002 -

    Una buona raccolta di problemi non troppo complessi, spesso con generalizzazioni interessanti.

  • Honsberger, Ross;  Mathematical Gems III, The Mathematical Association of America,, 1985.
  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Yaglom, A.M.;  Yaglom, I.M.;  Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, New York, Dover, 1987 -

    Traduzione dal russo di Neelementarnye Zadachi v Elementarnom Izlozhenii (Problemi non elementari e soluzioni elementari), Mosca, Ist. Governativo di stampa per la letteratura tecnico-teorica, 1954. Una splendida raccolta di problemi, generalmente non facili, comparsa per la prima volta in occidente nel 1964 (S. Francisco, Holden-Day Inc., 1964).

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