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Tribonacci (numeri di)

Sequenze 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Numeri di n-bonacci

I numeri di tribonacci sono una variante sul tema dei numeri di Fibonacci, nella quale ogni numero è la somma dei tre precedenti, iniziando con T0 = T1 = 0, T2 = 1. Il nome venne proposto da Mark Feinberg, in un articolo pubblicato sul The Fibonacci Quarterly, all’età di 14 anni!

Dickson pero riporta che M. D’Ocagne in una serie di articoli pubblicati tra il 1883 e il 1890 aveva già trattato sequenze simili e persino più generali, definite da ricorrenze del tipo Tn = aTn – 1 + bTn – 2 + cTn – 3, e sequenze definite da ricorrenze con più termini.

 

I numeri di tribonacci possono essere calcolati con la formula Formula per il calcolo dei numeri di tribonacci, dove α, β e γ sono le radici dell’equazione x3x2x – 1 = 0:

Possono anche essere calcolati con la formula Formula per il calcolo dei numeri di tribonacci, dove le parentesi quadre indicano di prendere l’intero più vicino.

 

Il rapporto tra numeri di tribonacci consecutivi tende alla costante di tribonacci.

 

I numeri di Tribonacci costituiscono un insieme completo, nel senso che ogni intero positivo può essere rappresentato come somma di numeri di tribonacci distinti; analogamente a quanto succede nel caso dei numeri di Fibonacci, se non si utilizzano tre numeri di tribonacci consecutivi, la rappresentazione è unica.

 

Il numero di composizioni di n come somma di addendi interi non superiori a 3 è Tn + 1.

Per esempio, le composizioni di 4 sono T5 = 7:

  • 1 + 1 + 1 + 1,

  • 2 + 1 + 1,

  • 1 + 2 + 1,

  • 1 + 1 + 2,

  • 2 + 2,

  • 3 + 1,

  • 1 + 3.

 

Il numero di sequenze di n cifre 0 e 1 che non contengano 3 zeri consecutivi è Tn. Per esempio, tra le 16 sequenze di 4 cifre solo 0001, 1000 e 0000 contengono tre zeri consecutivi, quindi T4 = 13 sequenze non li contengono.

 

Data la matrice Definizione della matrice Q, valgono le relazioni Formula per le potenze della matrice Q e |Qn| = 1, dalla quale si ricava Determinante di una matrice contenente numeri di tribonacci.

 

Alcune formule per il calcolo dei numeri di tribonacci:

Tn = 2Tk – 1Tn – 4 (F.T. Howard e Curtis Cooper);

Tn = 4Tk – 2Tn – 4 – 2Tn – 5 (F.T. Howard e Curtis Cooper);

Tn = 4Tk – 3 + 3Tn – 4 + 2Tn – 5 (F.T. Howard e Curtis Cooper);

Tn + k = Tk – 1Tn + (Tk – 2 + Tk – 1)Tn + 1 + TkTn + 2 (Jishe Feng);

Tn + m = TnTm + TnTm – 1 + Tn – 1Tm + Tn + 1Tm + 1 (F.T. Howard e Curtis Cooper) e in particolare Formula per il calcolo di numeri di tribonacci e Formula per il calcolo di numeri di tribonacci;

T2n = 3T2(n – 1) + T2(n – 2) + T2(n – 3) (Jishe Feng);

T3n = 7T3(n – 1) – 5T3(n – 2) + T3(n – 3) (Jishe Feng);

T4n = 11T4(n – 1) + 5T4(n – 2) + T4(n – 3) (Jishe Feng);

T5n = 21T5(n – 1) + T5(n – 2) + T5(n – 3) (Jishe Feng);

T6n = 39T6(n – 1) – 11T6(n – 2) + 6T6(n – 3) (Jishe Feng);

Tkn + m = (αk + βk + γk)Tk(n – 1) + m – (αkβk + βkγk + αkγk)Tk(n – 2) + m + αkβkγkTk(n – 3) + m (Nurettin Irmak e Murat Alp, 2013).

 

La funzione generatrice dei numeri di tribonacci è Funzione generatrice dei numeri di tribonacci.

 

La tabella seguente riporta i numeri di tribonacci fino a T20.

n

Tn

0

0

1

0

2

1

3

1

4

2

5

4

6

7

7

13

8

24

9

44

10

81

11

149

12

274

13

504

14

927

15

1705

16

3136

17

5768

18

10609

19

19513

20

35890

 

Ogni numero naturale n divide infiniti numeri di tribonacci (J.L. Brenner, 1954).

La tabella seguente riporta il minimo numero di tribonacci multiplo di n, per n fino a 20.

n

Minimo multiplo

0

T0 = 0

1

T2 = 1

2

T4 = 2

3

T8 = 24

4

T4 = 4

5

T15 = 1705

6

T8 = 24

7

T6 = 7

8

T8 = 24

9

T10 = 81

10

T20 = 35890

11

T9 = 44

12

T8 = 24

13

T7 = 13

14

T13 = 504

15

T53 = 19426970897100

16

T16 = 3136

17

T29 = 8646064

18

T13 = 504

19

T19 = 19513

20

T32 = 53798080

 

Gli unici quadrati noti tra i numeri di tribonacci sono: T2 = T3 = 1 = 12, T5 = 4 = 22, T10 = 81 = 92, T15 = 3136 = 562, T18 = 10609 = 1032; T.D. Noe dimostrò nel 2007 che non ve ne sono altri tra i primi 109 numeri della sequenza.

 

I primi sono molto rari tra i numeri di tribonacci; sono noti solo quelli corrispondenti agli indici: 4, 6, 7, 11, 87, 98, 213, 802, 4202, 18699 e 96879; se ve ne sono altri, l’indice è maggiore di 291217 (E.W. Weisstein, 2009).

Bibliografia

  • Gardner, Martin;  Mathematical Circus, New York, Alfred A. Knopf, ristampato New York, Vintage Books, 1981, 1979.
  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.

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