Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Stirling di prima specie (numeri di)

Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori

Alcuni valori particolari:

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(0, 0) e S(0, 0);

Numero di Stirling di prima specie s(0, k), per k > 0;

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(n, 0) e S(n, 0), per n > 0;

Numero di Stirling di prima specie s(n, 1), per n > 0;

Numero di Stirling di prima specie s(n, 2), per n > 1;

Numero di Stirling di prima specie s(n, 3), per n > 2, dove Hn, k è un numero armonico generalizzato;

Numero di Stirling di prima specie s(n, 4), per n > 3, dove Hn, k è un numero armonico generalizzato;

Numero di Stirling di prima specie s(n, n – 3), per n > 2;

Numero di Stirling di prima specie s(n, n – 2), per n > 1;

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(n, n – 1) e S(n, n – 1), per n > 1;

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(n, n) e S(n, n);

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(n, m) e S(n, m), se m > n.

 

Alcune proprietà modulari:

se p è primoNumero di Stirling di prima specie s(p, k) è divisibile per p, per 1 < k < p.

se p è primo e maggiore di 3, Numero di Stirling di prima specie s(p, 2) è divisibile per p2 (teorema di Wolstenholme);

in rarissimi casi Numero di Stirling di prima specie s(p, 2) è divisibile per p3; Ronald Bruck scoprì nel 1984 che 16843 è il minimo primo che abbia questa proprietà e in seguito scoprì 2124679; questi sono gli unici primi per ora noti con questa proprietà;

se p è primo, m = m / p, con troncamento al massimo intero non superiore al quoziente e r e s sono tali che km = r(p – 1) + s, con 0 ≤ s < p – 1, se n è multiplo di p e 0 < sp – 1 altrimenti, allora Congruenza soddisfatta dal numero di Stirling di prima specie s(n, k);

fissato n, il numero di numeri di Stirling di prima specie Numero di Stirling di prima specie s(n, k) che non sono multipli di un primo p è (n1 + 1)(n2 + 1) … (nm + 1)w, dove nmnm – 1n2n1n0 è la rappresentazione di n in base p e w è il numero di numeri di Stirling di prima specie Numero di Stirling di prima specie s(n(0), k) che non sono multipli di p.

 

Altre proprietà:

Relazione tra i numeri di Stirling di prima specie e quelli di seconda specie;

Limite superiore per il valore del numero di Stirling di prima specie s(n, k) (Iaroslav V. Blagouchine, 2015);

per k fissato, Numero di Stirling di prima specie s(n, k) tende a Limite cui tende il numero di Stirling di prima specie s(n, k), che rappresenta un’ottima approssimazione, se k è piccolo rispetto a logn (C. Jordan, 1947).

 

La funzione generatrice dei numeri di Stirling di prima specie è Funzione generatrice dei numeri di Stirling di prima specie.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri di Stirling di prima specie Numero di Stirling di prima specie s(n, k), per n fino a 20.

n \ k

0

1

2

3

1

0

1

 

 

2

0

1

1

 

3

0

2

3

1

4

0

6

11

6

5

0

24

50

35

6

0

120

274

225

7

0

720

1764

1624

8

0

5040

13068

13132

9

0

40320

109584

118124

10

0

362880

1026576

1172700

11

0

3628800

10628640

12753576

12

0

39916800

120543840

150917976

13

0

479001600

1486442880

1931559552

14

0

6227020800

19802759040

26596717056

15

0

87178291200

283465647360

392156797824

16

0

1307674368000

4339163001600

6165817614720

17

0

20922789888000

70734282393600

102992244837120

18

0

355687428096000

1223405590579200

1821602444624640

19

0

6402373705728000

22376988058521600

34012249593822720

20

0

121645100408832000

431565146817638400

668609730341153280

n \ k

4

5

6

7

4

1

 

 

 

5

10

1

 

 

6

85

15

1

 

7

735

175

21

1

8

6769

1960

322

28

9

67284

22449

4536

546

10

723680

269325

63273

9450

11

8409500

3416930

902055

157773

12

105258076

45995730

13339535

2637558

13

1414014888

657206836

206070150

44990231

14

20313753096

9957703756

3336118786

790943153

15

310989260400

159721605680

56663366760

14409322928

16

5056995703824

2706813345600

1009672107080

272803210680

17

87077748875904

48366009233424

18861567058880

5374523477960

18

1583313975727488

909299905844112

369012649234384

110228466184200

19

30321254007719424

17950712280921504

7551527592063024

2353125040549984

20

610116075740491776

371384787345228000

161429736530118960

52260903362512720

n \ k

8

9

10

11

8

1

0

0

0

9

36

1

0

0

10

870

45

1

0

11

18150

1320

55

1

12

357423

32670

1925

66

13

6926634

749463

55770

2717

14

135036473

16669653

1474473

91091

15

2681453775

368411615

37312275

2749747

16

54631129553

8207628000

928095740

78558480

17

1146901283528

185953177553

23057159840

2185031420

18

24871845297936

4308105301929

577924894833

60202693980

19

557921681547048

102417740732658

14710753408923

1661573386473

20

12953636989943896

2503858755467550

381922055502195

46280647751910

n \ k

12

13

14

15

12

1

0

0

0

13

78

1

0

0

14

3731

91

1

0

15

143325

5005

105

1

16

4899622

218400

6580

120

17

156952432

8394022

323680

8500

18

4853222764

299650806

13896582

468180

19

147560703732

10246937272

549789282

22323822

20

4465226757381

342252511900

20692933630

973941900

n \ k

16

17

18

19

20

16

1

0

0

0

0

17

136

1

0

0

0

18

10812

153

1

0

0

19

662796

13566

171

1

0

20

34916946

920550

16815

190

1

 

Fissato n, i numeri di Stirling di prima specie Numero di Stirling di prima specie s(n, k) raggiungono il massimo (unico per n > 2) per Valore di k che rende massimo il numero di Stirling di prima specie s(n, k).

Bibliografia

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.

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