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Negativi (numeri)

Teoria dei numeri  Vari 

Si dicono negativi i numeri minori di zero.

 

Diofanto e i matematici greci in generale mettevano la matematica al servizio della geometria: per loro un problema portava al calcolo di lunghezze, aree e volumi; potenze superiori alla terza e numeri negativi non avevano senso nel contesto dei loro problemi e non erano considerati. Un’equazione con soluzione negativa era semplicemente considerata impossibile. E’ significativo il fatto che il primo problema dell’Arithmetica di Diofanto, uno dei testi base sino al Rinascimento, fosse trovare due numeri date la loro somma e la loro differenza: sebbene Diofanto trattasse senza problemi frazioni, anche con denominatori relativamente grandi, i casi nei quali la soluzione includeva numeri negativi erano considerati impossibili.

 

La prima trattazione scritta di numeri negativi si trova in Jiu-zhang Suanshu (I nove capitoli dell’arte matematica), testo di matematica cinese del periodo Han (dal 200 a.C. al 200 d.C.), che spiega come usare bastoncini rossi (cheng) per le quantità positive e neri (fu) per quelle negative. Anche i contabili occidentali utilizzavano fino a poco tempo fa una convenzione analoga, ma a colori invertiti; il diverso ruolo attribuito al rosso potrebbe dipendere dal fatto che mentre in Occidente è associato al pericolo, in Cina è il colore della felicità.

 

Il manoscritto di Bakhshali (scritto su corteccia di betulla e ritrovato nel 1881 nel villaggio di Bakhshali, nell’odierno Pakistan), datato da differenti esperti tra il II secolo a.C. e il VII secolo d.C., tratta i numeri negativi (per i quali curiosamente utilizza il simbolo +) e lo zero (per il quale utilizza come simbolo un punto). Se la probabile datazione a prima del II secolo d.C. fosse corretta, si tratterebbe della prima traccia di questi due concetti.

 

Il matematico indiano Brahmagupta (Ujjain, 598 – 670) nel 628 diede in Brahma-Sputa-Siddhanta un insieme completo di regole per trattare lo zero e i numeri negativi nelle operazioni; chiamava i numeri positivi “fortune” e i negativi “debiti”. Sganciandosi dal significato geometrico e passando al denaro, l’introduzione dei negativi divenne naturale.

 

A Baghdad nel IX secolo Abū ‘Abdallāh Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī (Khwārizmī, circa 780 – circa 850) presentò le equazioni lineari e quadratiche in 6 forme diverse, dando per ciascuna il metodo di soluzione. Pur riconoscendo d’aver appreso buona parte delle nozioni da Brahmagupta, i suoi modelli geometrici lo indussero a considerare assurdi i numeri negativi, che ammise solo in un successivo lavoro sull’eredità, ma sotto forma di debiti.

 

Il matematico persiano Abū al-Wafā’, Muhammad ibn Muhammad ibn Yahyā ibn Ismā’īl ibn al-‘Abbās al-Būzjānī (Buzghan, oggi Torbat-e Jam, Iran, 10/6/940 – Baghdad, 15/7/998) utilizzava i numeri negativi nei calcoli finanziari, sempre per rappresentare debiti.

 

Nel XII secolo però Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw’al (Baghdad, circa 1130 – Maraghw, Iran circa 1180) ripropose nel mondo arabo le regole di Brahmagupta, favorendo, seppur in modo limitato, l’accettazione dei numeri negativi in Occidente.

 

Mentre i matematici antichi aborrivano i numeri negativi, contabili e commercianti li usavano con naturalezza e Fibonacci (circa  1170, – Pisa, circa 1250) propose i primi problemi aritmetici occidentali con soluzione negativa, considerandoli come debiti (nel Liber Abaci, 1202) o perdite (Flos, 1225).

 

I numeri negativi furono introdotti nella matematica in Occidente nel Rinascimento e furono accolti con estrema diffidenza dai matematici. Per esempio, non si considerava esistente una sola forma fondamentale di equazione di secondo grado, ma tre: x2 + ax = b, x2 = ax + b e x2 + b = ax, con a e b rigorosamente positivi, da risolvere con altrettanti metodi. Significativo il fatto che la forma che oggi consideriamo fondamentale, cioè x2 + ax + b = 0 non venisse neppure considerata, perché con a e b positivi almeno una soluzione sarebbe inevitabilmente negativa.

Per oltre un secolo furono considerati come artifici quasi magici per arrivare a risultati corretti attraverso una scorciatoia comoda, anche se di dubbia correttezza; se il risultato finale era negativo, molti preferivano scartarlo, dichiarando insolubile il problema. Questo atteggiamento deriva dall’ostinazione nel voler vedere i numeri come semplici “contatori”: non ha senso parlare di un numero negativo di oggetti, ma se i numeri sono visti come misure o addirittura prescindendo da un modello concreto, il concetto di numero negativo diventa naturale.

Rafael Bombelli (Bologna, battezzato il 20/1/1526 – Roma, 1572) nella sua Algebra (1572) fu il primo a indicare come trattare i numeri negativi e complessi nelle quattro operazioni, subito seguito nel 1585 dal matematico olandese Simon Stevin (Bruges, 1548 – 1620) con l’Aritmetica. Ancora nel XVII secolo tuttavia si “dimostrava” la non esistenza dei numeri negativi con argomenti filosofici come il seguente: consideriamo il rapporto –1 : 1 = 1 : –1; i due rapporti sono uguali a –1, in base alla legge dei segni, ma allora un numero minore (cioè –1) sta a uno maggiore (cioè 1) come uno maggiore sta a uno minore. Per risolvere questo apparente paradosso e altri simili, alcuni matematici, come Wallis ed Eulero, si spinsero a esaminare la possibilità di considerare i numeri negativi come maggiori di infinito.

 

Il segno – oggi universalmente usato comparve in Europa nel XVI secolo (v. notazione matematica).

 

John Wallis (Ashford, Inghilterra, 23/11/1616 – Oxford, 28/10/1703) inventò la rappresentazione dei numeri reali tramite la cosiddetta “retta reale”, creando un modello geometrico capace di rappresentare i numeri negativi (come coordinate) e favorendone l’accettazione.

 

Ancora Cartesio e Pascal parlavano di numeri “assurdi” o “fittizi”: artifici da usare per arrivare alla soluzione di un problema (positiva), da verificare dopo, esattamente come accadeva per i numeri complessi.

Fin nel XVIII era pratica comune scartare le soluzioni negative delle equazioni, come prive di significato.

 

La natura stessa dei numeri negativi non fu ben compresa sino al XIX secolo: ancora grandi matematici come Leibniz, Johan Bernoulli, Eulero e d’Alembert dibattevano se logx e log(–x) fossero la stessa cosa.

 

I matematici vinsero prima la diffidenza verso i numeri irrazionali, magari approssimandoli con frazioni, forse perché potevano capitare abbastanza naturalmente in problemi di geometria elementare, ma i numeri negativi, che noi oggi consideriamo più semplici da trattare, impiegarono molto di più a farsi accettare.

 

Ma siamo sicuri che la diffidenza verso i numeri negativi sia del tutto scomparsa? Nelle contabilità i numeri negativi sono spesso scritti tra parentesi (o in rosso), ma senza il segno; in molti edifici i piani sotto il livello stradale sono indicati come “S1”, “S2” e molti preferiscono dire che la temperatura è “5 sotto zero”, piuttosto che “meno 5”.

L’unico caso nel quale sia giustificato evitare i numeri negativi è nelle date: Cesare morì nel 43 a.C. e non nell’anno –43. E’ giusto che sia così, perché altrimenti nel fare i conti con le differenze si sarebbe facilmente tratti in errore, perché l’anno zero non è mai esistito e il cinquantesimo anniversario della morte cade nell’8 d.C., non nel 7.

Bibliografia

  • Friedberg, Richard;  An Adventurer’s Guide to Number Theory, New York, McGraw Hill, 1968 -

    Un testo semplice, ma gradevole. Più facilmente reperibile la successiva edizione New York, Dover, 1994.

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, MIlano, n. 110, ottobre 1977, pag. 114 – 118.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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