Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Legendre (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Legendre Ln(x) sono le soluzioni dell’equazione differenziale di Legendre Equazione differenziale di Legendre, quando n è intero.

Furono introdotti da Adrien-Marie Legendre nel 1782, nello studio del potenziale gravitazionale di Newton.

 

Possono essere calcolati:

  • tramite la formula di Rodriguez Formula di Rodriguez per il calcolo dei polinomi di Legendre, da cui Formula per il calcolo dei polinomi di Legendre;

  • tramite la formula Formula per il calcolo dei polinomi di Legendre;

  • tramite la ricorrenza L0(x) = 1, L1(x) = x, (n + 1)Ln + 1(x) = (2n + 1)xLn(x) – nLn – 1(x) (formula di Bonnet).

 

Il polinomio di Legendre Ln(x) è un polinomio di grado n a coefficienti razionali, con denominatore uguale a una potenza di 2.

 

Alcune proprietà:

Ln(–x) = (–1)nLn(x);

Ln(1) = 1;

Formula per la derivata dei polinomi di Legendre per argomento uguale a 1;

(1 – x2)Ln(x) = –nxLn(x) + nLn - 1(x) = (n + 1)(xLn(x) – Ln + 1(x));

(2n + 1)Ln(x) = Ln + 1(x) – Ln – 1(x);

Formula per la derivata dei polinomi di Legendre;

Formula che coinvolge i polinomi di Legendre;

Formula che coinvolge i polinomi di Legendre per n pari e Formula che coinvolge i polinomi di Legendre per n dispari.

 

Due somme notevoli sono: Formula che coinvolge i polinomi di Legendre e Formula che coinvolge i polinomi di Legendre, dove i vari xk sono le n radici di Ln(x).

 

Diseguaglianza di Askey – Gasper, per x ≥ –1 (diseguaglianza di Askey – Gasper, dimostrata da Richard Askey e George Gasper nel 1972).

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei polinomi di Legendre, ossia Funzione generatrice dei polinomi di Legendre, da cui, derivando rispetto a x, si ottiene Formula che coinvolge i polinomi di Legendre e con qualche altro passaggio si arriva a Formula che coinvolge i polinomi di Legendre.

 

Alcuni integrali che coinvolgono polinomi di Legendre:

Formula che coinvolge i polinomi di Legendre, dove il cammino di integrazione circonda l’origine ed è percorso in senso antiorario;

Formula per l'integrale dei polinomi di Legendre e in particolare Formula per l'integrale dei polinomi di Legendre

 

Dalla formula Formula per l'integrale di prodotti di polinomi di Legendre si ricava il caso particolare Formula per l'integrale di prodotti di polinomi di Legendre dove Formula per la funzione f, dove Formula per A.

 

I polinomi di Legendre sono ortogonali nell’intervallo [ –1 .. 1 ], ossia Formula per l'integrale di prodotti di polinomi di Legendre. Inoltre Formula per l'integrale di prodotti di polinomi di Legendre e

Formula per l'integrale di prodotti di polinomi di Legendre 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Legendre.

 

Grafico dei primi polinomi di Legendre

 

 

La tabella seguente mostra i primi polinomi di Legendre.

n

Ln(x)

0

1

1

x

2

Polinomio di Legendre L2(x)

3

Polinomio di Legendre L3(x)

4

Polinomio di Legendre L4(x)

5

Polinomio di Legendre L5(x)

6

Polinomio di Legendre L6(x)

7

Polinomio di Legendre L7(x)

8

Polinomio di Legendre L8(x)

9

Polinomio di Legendre L9(x)

10

Polinomio di Legendre L10(x)

11

Polinomio di Legendre L11(x)

12

Polinomio di Legendre L12(x)

13

Polinomio di Legendre L13(x)

14

Polinomio di Legendre L14(x)

15

Polinomio di Legendre L15(x)

16

Polinomio di Legendre L16(x)

17

Polinomio di Legendre L17(x)

18

Polinomio di Legendre L18(x)

19

Polinomio di Legendre L19(x)

20

Polinomio di Legendre L20(x)

 

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.