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Coefficienti fibonomiali

Teoria dei numeri 

Sono chiamati “coefficienti fibonomiali” i numeri calcolati con una formula analoga a quella dei coefficienti binomiali, utilizzando però i fattoriali di Fibonacci al posto dei fattoriali. Il coefficiente binomiale Coefficiente binomiale C(n, k) può essere espresso come Formula per il coefficiente binomiale C(n, k); sostituendo a ogni numero naturale m il corrispondente numero di Fibonacci Fm, otteniamo: Formula per il coefficiente fibonomiale F(n, k), con per definizione Valore del coefficiente fibonomiale F(n, 0).

Soddisfano la relazione Formula che coinvolge coefficienti fibonomiali, dove Ln è l’n-esimo numero di Lucas.

 

Valgono le seguenti formule, analoghe a quelle per i coefficienti binomiali:

Formula che coinvolge coefficienti fibonomiali;

Formula che coinvolge coefficienti fibonomiali;

Formula che coinvolge coefficienti fibonomiali;

Formula che coinvolge coefficienti fibonomiali. Questa formula è simile all’identità di Pascal e permette di costruire un triangolo analogo a quello di Tartaglia.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

1

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

2

 

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

 

6

 

3

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

5

 

15

 

15

 

5

 

1

 

 

 

 

 

 

 

1

 

8

 

40

 

60

 

40

 

6

 

1

 

 

 

 

 

1

 

13

 

104

 

260

 

260

 

104

 

13

 

1

 

 

 

1

 

21

 

273

 

1092

 

1820

 

1092

 

273

 

21

 

1

 

1

 

34

 

714

 

4641

 

12376

 

12376

 

4641

 

36

 

714

 

1

 

Alcuni casi particolari:

Formula per il coefficiente fibonomiale F(n, 0);

Formula per il coefficiente fibonomiale F(n, 1);

Formula per il coefficiente fibonomiale F(n, 2);

Formula per il coefficiente fibonomiale F(n, 3).

 

Dalla diseguaglianza Diseguaglianza per un prodotto di numeri di Fibonacci per n > 1 si ricava Diseguaglianza per i coeficienti fibonomiali.

 

L’identità Identità che coinvolge i coefficienti fibonomiali, dove Gn è un numero di Fibonacci generalizzato, permette di esprimere la potenza n-esima di un numero di Fibonacci generalizzato come somma delle potenze n-esime degli n + 1 precedenti.

 

Le tabelle seguenti riportano i coefficienti fibonomiali per n e k fino a 20.

n \ k

0

1

2

3

4

5

0

1

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

2

1

1

1

 

 

 

3

1

2

2

1

 

 

4

1

3

6

3

1

 

5

1

5

15

15

5

1

6

1

8

40

60

40

8

7

1

13

104

260

260

104

8

1

21

273

1092

1820

1092

9

1

34

714

4641

12376

12376

10

1

55

1870

19635

85085

136136

11

1

89

4895

83215

582505

1514513

12

1

144

12816

352440

3994320

16776144

13

1

233

33552

1493064

27372840

186135312

14

1

377

87841

6324552

187628376

2063912136

15

1

610

229970

26791505

1285992240

22890661872

16

1

987

602070

113490195

8814405145

253854868176

17

1

1597

1576239

480752895

60414613805

2815321003313

18

1

2584

4126648

2036500788

414088493560

31222272414424

19

1

4181

10803704

8626757644

2838203264876

346260798314872

20

1

6765

28284465

36543528780

19453338487220

3840089017377228

n \ k

6

7

8

9

10

6

1

 

 

 

 

7

13

1

 

 

 

8

273

21

1

 

 

9

4641

714

34

1

 

10

85085

19635

1870

55

1

11

1514513

582505

83215

4895

89

12

27261234

16776144

3994320

352440

12816

13

488605194

488605194

186135312

27372840

1493064

14

8771626578

14169550626

8771626578

2063912136

187628376

15

157373300370

411591708660

411591708660

157373300370

22890661872

16

2824135408458

11948265189630

19344810307020

11948265189630

2824135408458

17

50675778059634

346934172869802

908637119420910

908637119420910

346934172869802

18

909348684070099

10072785423545712

42689423937884208

69056421075989160

42689423937884208

19

16317540120588343

292460526776698763

2005443612183077232

5249543573067466872

5249543573067466872

20

292806787575013635

8491396839675395415

94214069697350815795

399024295188779925720

645693859487298425256

n \ k

11

12

13

14

15

11

1

 

 

 

 

12

144

1

 

 

 

13

33552

233

1

 

 

14

6324552

87841

377

1

 

15

1285992240

26791505

229970

610

1

16

253854868176

8814405145

113490195

602070

987

17

50675778059634

2815321003313

60414613805

480752895

1576239

18

10072785423545712

909348684070099

31222272414424

414088493560

2036500788

19

2005443612183077232

292460526776698763

16317540120588343

346260798314872

2838203264876

20

399024295188779925720

94214069697350815795

8491396839675395415

292806787575013635

3840089017377228

n \ k

16

17

18

19

20

16

1

 

 

 

 

17

1597

1

 

 

 

18

4126648

2584

1

 

 

19

8626757644

10803704

4181

1

 

20

19453338487220

36543528780

28284465

6765

1

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