Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

λ(n) (funzione lambda) chiamata “funzione di Carmichael” o “funzione toziente ridotto” o “minimo esponente universale”.

 

Il teorema di Eulero assicura che se k e n sono primi tra loro, kφ(n) ≡ 1 mod n, ma in molti casi esiste un intero m < φ(n) tale che km ≡ 1 mod n; la funzione di Carmichael è il minimo valore di m tale che km ≡ 1 mod n per ogni k primo rispetto a n.

 

La funzione può essere calcolata come segue:

  • φ(n), se n è 2, 4, un primo dispari o una potenza di un primo dispari;

  • Formula per il calcolo della funzione λ per argomenti uguali a potenze di 2, se n = 2r è una potenza di 2 maggiore di 4;

  • Formula per il calcolo della funzione λ per argomenti uguali al prodotto di primi distinti, se Scomposizione di n come prodotto di primi distinti è il prodotto di primi distinti pi, ciascuno elevato a un esponente ai.

 

Alcune proprietà:

  • se a divide b, λ(a) divide λ(b);

  • λ(ab) = mcm(λ(a), λ(b));

  • se km ≡ 1 mod n, m divide λ(n);

  • Media dei primi n valori della funzione λ tende a Limite cui tende la media dei valori della funzione λ, dove B vale circa 0.34537;

  • λ(n) è dispari solo per n = 1 e n = 2;

  • Valore della funzione λ per argomenti fattoriali

 

Un numero naturale è un numero di Carmichael se e solo se λ(n) divide n – 1, (Carmichael, 1910).

 

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

λ(n)

1

1

2

1

3

2

4

2

5

4

6

2

7

6

8

2

9

6

10

4

11

10

12

2

13

12

14

6

15

4

16

4

17

16

18

6

19

18

20

4

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