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Ipertetraedrici (numeri)

Numeri figurati 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Espressione di interi come somma di numeri ipertetraedrici

I numeri ipertetraedrici sono i numeri di (iper)palline che formano una iper-piramide a d dimensioni; sono quindi numeri figurati.

Geometricamente un oggetto del genere si chiama simplesso, quindi più propriamente questi numeri dovrebbero chiamarsi “simplettici”.

 

Per d = 2 abbiamo i numeri triangolari, per d = 3 quelli tetraedrici.

 

Un ipertetraedro a d dimensioni con n (iper)palline per spigolo è formato da Formula per i numeri ipertetraedrici (iper)palline e in particolare:

  • Formula per i numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni, per quelli a 2 dimensioni (ossia triangolari);

  • Formula per i numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni, per quelli a 3 dimensioni (ossia tetraedrici);

  • Formula per i numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni, per quelli a 4 dimensioni;

  • Formula per i numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni, per quelli a 5 dimensioni;

  • Formula per i numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni, per quelli a 6 dimensioni;

  • Formula per i numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni, per quelli a 7 dimensioni;

  • Formula per i numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni, per quelli a 8 dimensioni;

  • Formula per i numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni, per quelli a 9 dimensioni;

  • Formula per i numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni, per quelli a 10 dimensioni.

 

Questi numeri possono anche essere calcolati con la ricorrenza: Valore iniziale della ricorrenza per il calcolo dei numeri ipertetraedrici, Ricorrenza per il calcolo dei numeri ipertetraedrici o con la formula Formula per il calcolo dei numeri ipertetraedrici, dove D(n, m) è un numero di Delannoy.

 

Un’identità interessante che coinvolge numeri ipertetraedrici è Identità che coinvolge i numeri ipertetraedrici (Thomas Jeffery, 2012).

 

Le somme di numeri ipertetraedrici sono particolarmente semplici: Formula per la somma di numeri ipertetraedrici;

Formula per la somma di numeri ipertetraedrici.

 

Anche la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici è particolarmente semplice: Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici.

 

Per le somme di reciproci di potenze dei numeri ipertetraedrici non esistono formule generali altrettanto semplici, ma i singoli casi sono esprimibili tramite funzioni elementari:

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni.

 

La somma a segni alterni dei reciproci dei numeri ipertetraedrici e delle loro potenze non è in generale esprimibile in termini di funzioni elementari, ma lo sono i singoli casi:

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 2 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 3 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 5 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 6 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 7 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 8 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 9 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni a segni alternati,

  • Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri ipertetraedrici a 10 dimensioni a segni alternati.

 

La funzione generatrice dei numeri ipertetraedrici è Funzione generatrice dei numeri ipertetraedrici e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri ipertetraedrici, dove L(n, k) è un numero di Lah.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri ipertetraedrici per n fino a 20 e d fino a 10.

n \ d

1

2

3

4

5

6

1

1

1

1

1

1

1

2

2

3

4

5

6

7

3

3

6

10

15

21

28

4

4

10

20

35

56

84

5

5

15

35

70

126

210

6

6

21

56

126

252

462

7

7

28

84

210

462

924

8

8

36

120

330

792

1716

9

9

45

165

495

1287

3003

10

10

55

220

715

2002

5005

11

11

66

286

1001

3003

8008

12

12

78

364

1365

4368

12376

13

13

91

455

1820

6188

18564

14

14

105

560

2380

8568

27132

15

15

120

680

3060

11628

38760

16

16

136

816

3876

15504

54264

17

17

153

969

4845

20349

74613

18

18

171

1140

5985

26334

100947

19

19

190

1330

7315

33649

134596

20

20

210

1540

8855

42504

177100

 

n \ d

7

8

9

10

1

1

1

1

1

2

8

9

10

11

3

36

45

55

66

4

120

165

220

286

5

330

495

715

1001

6

792

1287

2002

3003

7

1716

3003

5005

8008

8

3432

6435

11440

19448

9

6435

12870

24310

43758

10

11440

24310

48620

92378

11

19448

43758

92378

184756

12

31824

75582

167960

352716

13

50388

125970

293930

646646

14

77520

203490

497420

1144066

15

116280

319770

817190

1961256

16

170544

490314

1307504

3268760

17

245157

735471

2042975

5311735

18

346104

1081575

3124550

8436285

19

480700

1562275

4686825

13123110

20

657800

2220075

6906900

20030010

 

Tra i numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni:

  • l’unico a essere il doppio di un altro è 70 (H.E. Cohn, 1971);

  • gli unici a essere il triplo di un altro sono 15 e 210 (T. Ponnudurai, 1975);

  • gli unici a essere un quarto di un numero tetraedrico sono 1, 5 e 7315 (J.W. Boyd e H.H. Kisilevsky, 1975);

  • gli unici noti uguali alla somma di due numeri ipertetraedrici a 4 dimensioni sono 70 = 35 + 35 e 64684950 = 52602165 + 12082785.

 

Per numeri ipertetraedrici appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

I numeri ipertetraedrici primi sono tutti e soli i numeri della forma Formula per i numeri ipertetraedrici primi, con p primo.

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