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Coefficienti binomiali centrali

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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule

I coefficienti binomiali centrali sono i coefficienti binomiali Formula per i coefficienti binomiali centrali, così chiamati perché occupano le posizioni centrali nel triangolo di Pascal.

 

Per i valori valgono i limiti banali Limiti per i valori dei coefficienti binomiali centrali e i limiti migliori Limiti per i valori dei coefficienti binomiali centrali e Limiti per i valori dei coefficienti binomiali centrali.

 

Al crescere di n, il coefficiente binomiale centrale Coefficiente binomiale centrale C(2n, n) tende a Limite cui tende il coefficiente binomiale centrale.

 

La funzione generatrice di Coefficiente binomiale centrale C(2n, n) è Funzione generatrice dei coefficienti binomiali centrali e Serie che coinvolge i coefficienti binomiali centrali, per Limiti per i valori di x.

La funzione generatrice di Coefficiente binomiale C(2n - 1, n) è Funzione generatrice dei coefficienti binomiali C(2n - 1, n) e Serie che coinvolge i coefficienti binomiali C(2n - 1, n), per Limiti per i valori di x.

 

Il coefficiente binomiale centrale Coefficiente binomiale centrale C(2n, n) è sempre divisibile per n + 1.

 

 

Il problema di determinare il resto di un coefficiente binomiale centrale modulo un primo p fu risolto nel 2004 da Emeric Deutsch e Bruce E. Sagan:

  • se n si rappresenta in base p con cifre non superiori a p diviso 2, Formula per il calcolo del coefficiente binomiale centrale C(2n, n) modulo p, dove r(k) è il numero di cifre k nella rappresentazione di n in base p;

  • altrimenti Coefficiente binomiale centrale C(2n, n) è divisibile per p.

Deutsch e Sagan dimostrarono inoltre che Somma di coefficienti binomiali centrali modulo 3, dove d(n) è il numero di cifre 1 nella rappresentazione in base 3 di n, se n = 3k e k si rappresenta in base 3 senza cifre 2; Somma di coefficienti binomiali centrali modulo 3 altrimenti.

 

Se p è primo, valgono le seguenti congruenze:

  • Congruenza soddisfatta dai coefficienti binomiali centrali,

  • Congruenza soddisfatta dai coefficienti binomiali centrali.

 

Erdös congetturò nel 1979 che i coefficienti binomiali centrali siano divisibili per un quadrato, tranne per n uguale a 1, 2 o 4, cioè per i coefficienti 2, 6 e 70. La congettura fu dimostrata vera nel 1993 (v. congetture di Erdös sui coefficienti binomiali).

In particolare, per n > 2081 ogni coefficiente binomiale centrale Coefficiente binomiale centrale C(2 *n, n) è divisibile per il quadrato di un primo non inferiore a sqrt(n / 5) e e non inferiore a sqrt(n) per n ≥ 21617 (Andrew Granville e Olivier Ramaré 1996). Poche ulteriori verifiche permisero quindi di dimostrare vera la congettura di Erdös che i coefficienti binomiali centrali siano sempre divisibili per un quadrato dispari, tranne per n < 5, n = 784 e n = 786.

Dal teorema di Kummer (v. coefficienti binomiali) segue che i coefficienti binomiali centrali Coefficiente binomiale centrale C(2 *n, n) sono divisibili per 4, se n non è una potenza di 2. P. Goetgheluck nel 1988 verificò che sono divisibile per 4 o 9, per 4 < n < 242205184, tranne Coefficiente binomiale centrale C(128, 64), multiplo di 52, e Coefficiente binomiale centrale C(512, 256), multiplo di 72. Si ritiene che queste siano le uniche eccezioni.

 

Nel 1992 J. W. Sander dimostrò che per d non troppo grande, anche Coefficiente binomiale centrale C(2 * n ± d, n) è multiplo di una potenza con esponente grande a piacere. Più precisamente Sander dimostrò che, fissato un intero positivo r è e un numero ε, tale che 0 < ε < 1, esiste un intero n0 tale che per ogni n maggiore di n0 e ogni k compreso tra 0 e n e tale che |n – 2k| < n1 – εCoefficiente binomiale C(n, k) sia multiplo di una potenza r-esima di almeno un primo p, tale che Limite inferiore per p.

Andrew Granville e Olivier Ramaré dimostrarono che esiste una costante c tale che per n abbastanza grande se Coefficiente binomiale centrale C(n, k) non è multiplo di quadrati, k o nk sono minori di Limite superiore per k o n – k, quindi solo i coefficienti binomiali abbastanza lontani dal centro del triangolo di Tartaglia possono essere non multipli di quadrati.

 

Erdös, Graham, Rusza e Straus dimostrarono nel 1975 che esistono infiniti coefficienti binomiali centrali divisibili per il prodotto di due primi fissati, ma non si sa se una proprietà analoga valga per il prodotto di tre primi. In particolare non si sa se esistano infiniti coefficienti binomiali centrali divisibili per 3 • 5 • 7 = 105.

 

La tabella seguente riporta i primi valori.

n

Coefficiente binomiale centrale C(2n, n) 

0

1

1

2

2

6

3

20

4

70

5

252

6

924

7

3432

8

12870

9

48620

10

184756

11

705432

12

2704156

13

10400600

14

40116600

15

155117520

16

601080390

17

2333606220

18

9075135300

19

35345263800

20

137846528820

 

Tabelle numeriche

Coefficienti binomiali centrali.

Bibliografia

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.

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