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Coefficienti trinomiali

Algebra  Matematica combinatoria 

I coefficienti trinomiali, di solito indicati come (n1 + n2 + n3; n1, n2, n3) sono così chiamati perché compaiono nello sviluppo di potenze di un trinomio: Formula per le potenze di un trinomio, dove la somma va estesa a tutte le combinazioni di numeri naturali n1, n2, n3, anche nulli, che sommati diano n. Sono un caso particolare di coefficienti multinomiali.

 

Possono essere calcolati tramite la formula Formula per il calcolo dei coefficienti trinomiali

 

Andrews propose nel 1990 una differente definizione, con una differente notazione, indicando con Notazione di Andrews per i coefficienti trinomiali il coefficiente di xn + k nell’espansione di (1 + x + x2)n. Il coefficiente è nullo se k < –n o k > n.

Con questa notazione vale la formula Formula per le potenze di (1 + x + 1/x), con Formula per le potenze di (1 + x + 1/x).

 

Con la definizione di Andrews, Coefficiente trinomiale centrale T(2n, n) è il coefficiente trinomiale “centrale”, ovvero il coefficiente di xn nell’espansione di (1 + x + x2)n, che può essere calcolato anche tramite la formula Formula per il calcolo del coefficiente trinomiale centrale T(2n, n), dove Ln(x) è un polinomio di Legendre.

 

Il numero di modi nei quali possono essere suddivisi n1 + n2 + n3 oggetti in 3 gruppi, in modo da averne n1 nel primo gruppo, n2 nel secondo e n3 nel terzo è (n1 + n2 + n3; n1, n2, n3).

 

Il numero di combinazioni di n interi, ciascuno uguale a –1, 0 o 1, tali che la somma sia k è Coefficiente trinomiale T(n, k). Per esempio, vi sono Coefficiente trinomiale T(3, 0) combinazioni di 3 interi del genere con somma nulla: { –1, 0 , 1 }, { –1, 1, 0 }, { 0, –1, 1 }, { 0, 1, –1 }, { 1, –1, 0 }, { 1, 0, –1 } e { 0, 0, 0 }.

 

Il numero di percorsi dall’origine al punto (n, 0), utilizzando solo passi del tipo (1, –1), (1, 0) o (1, 1) è Coefficiente trinomiale T(n, 0). Per esempio, vi sono Coefficiente trinomiale T(3, 0) percorsi del genere per raggiungere il punto (3, 0), mostrati nella figura seguente.

Percorsi dal punto (0, 0) al punto (3, 0)

 

La formula Formula per il coefficiente trinomiale T(n, k) permette di costruire un triangolo analogo a quello di Pascal, nel quale ogni numero, esclusi gli estremi di ogni riga, è la somma dei tre sulla riga immediatamente sopra, nella stessa colonna e nelle due adiacenti.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

3

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

3

6

7

6

3

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

4

10

16

19

16

10

4

1

 

 

 

 

 

 

 

1

5

15

30

45

51

45

30

15

5

1

 

 

 

 

 

1

6

21

50

90

126

141

126

90

50

21

6

1

 

 

 

1

7

28

77

161

266

357

393

357

266

161

77

28

7

1

 

1

8

36

112

266

504

784

1016

1107

1016

784

504

266

112

36

8

1

 

Alcune formule:

Formula per il coefficiente trinomiale T(n, n - 1);

Formula per il coefficiente trinomiale T(n, 0);

Formula per il coefficiente trinomiale T(n, 0);

Formula per il coefficiente trinomiale T(n, 0);

Formula per il coefficiente trinomiale T(n, 0) (Dan Romik);

Formula per il coefficiente trinomiale T(n, k).

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose le congetture che Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali centrali sia strettamente crescente e che Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali centrali sia strettamente decrescente; l’anno seguente Florian Luca e Pantelimon Stănică dimostrarono che le congetture sono vere per n abbastanza grande.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice per i coefficienti trinomiali.

 

Per i coefficienti trinomiali valgono le congruenze Congruenza per i coefficienti trinomiali  e Congruenza per i coefficienti trinomiali per p primo.

Coefficiente trinomiale T(n, 1), dove Mn – 1 è un numero di Motzkin, quindi Coefficiente trinomiale T(n, 1) è primo solo per n = 2.

Per n < 2000, Coefficiente trinomiale T(n, k) è primo solo se n = k + 1 o n = –k – 1 e n è primo, perché in tal caso Coefficiente trinomiale T(n, n - 1), e nei casi: Coefficiente trinomiale T(2, 0), Coefficiente trinomiale T(2, 1)Coefficiente trinomiale T(3, 0) e Coefficiente trinomiale T(4, 0).

 

Emeric Deutsch e Bruce E. Sagan dimostrarono nel 2004 cheCoefficiente trinomiale centrale T(n, 0) ≡ 1 mod 3, se n si rappresenta in base 3 senza cifre 2, altrimenti Coefficiente trinomiale centrale T(n, 0) è divisibile per 3

 

Nel 1765 Eulero notò che per i primi valori di n Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali, tuttavia la relazione vale solo per n ≤ 7. Nel 1990 R. Guy ne parlò con Andrews durante una conferenza e mezz’ora dopo quest’ultimo arrivò con una serie strettamente correlata; definendo Formula per la definizione della funzione E(a, b), dimostrò infatti che valgono le identità:

  • Valore di E(1, 2);

  • En(1, 4) = En + 1(2, 3) = FnFn + 1;

  • Valore di E(3, 4);

  • Valore di E(1, 3);

  • Valore di E(2, 4);

  • Valore di E(1, 5);

  • Valore di E(0, 4);

  • Valore di E(3, 5);

  • Valore di E(3, 5);

  • En(0, 5) = F2n – 1 + FnFn – 1.

La formula di Eulero segue da queste, perché Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali, per n ≤ 7.

 

Andrews dimostrò inoltre le identità:

  • Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali;

  • Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali;

  • Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali;

  • Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali;

  • Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali;

  • Formula che coinvolge i coefficienti trinomiali.

 

Le tabelle seguenti mostrano i primi valori.

n \ k

0

1

2

3

4

5

0

1

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

2

3

2

1

 

 

 

3

7

6

3

1

 

 

4

19

16

10

4

1

 

5

51

45

30

15

5

1

6

141

126

90

50

21

6

7

393

357

266

161

77

28

8

1107

1016

784

504

266

112

9

3139

2907

2304

1554

882

414

10

8953

8350

6765

4740

2850

1452

11

25653

24068

19855

14355

9042

4917

12

73789

69576

58278

43252

28314

16236

13

212941

201643

171106

129844

87802

52624

14

616227

585690

502593

388752

270270

168168

15

1787607

1704510

1477035

1161615

827190

531531

16

5196627

4969152

4343160

3465840

2520336

1665456

17

15134931

14508939

12778152

10329336

7651632

5182008

18

44152809

42422022

37616427

30759120

23162976

16031952

19

128996853

124191258

110797569

91538523

69954048

49366674

20

377379369

363985680

326527350

272290140

210859245

151419816

 

n \ k

6

6

8

9

10

11

12

6

1

 

 

 

 

 

 

7

7

1

 

 

 

 

 

8

36

8

1

 

 

 

 

9

156

45

9

1

 

 

 

10

615

210

55

10

1

 

 

11

2277

880

275

66

11

1

 

12

8074

3432

1221

352

78

12

1

13

27742

12727

5005

1651

442

91

13

14

93093

45474

19383

7098

2184

546

105

15

306735

157950

71955

28665

9828

2835

665

16

996216

536640

258570

110448

41328

13328

3620

17

3198312

1791426

905658

410346

165104

58276

17748

18

10171746

5895396

3107430

1481108

633726

241128

80580

19

32099094

19174572

10483934

5222264

2355962

955434

344964

20

100640340

61757600

34880770

18062160

8533660

3656360

1409895

 

n \ k

13

14

15

16

17

18

19

20

13

1

 

 

 

 

 

 

 

14

14

1

 

 

 

 

 

 

15

120

15

1

 

 

 

 

 

16

800

136

16

1

 

 

 

 

17

4556

952

153

17

1

 

 

 

18

23256

5661

1122

171

18

1

 

 

19

109497

30039

6954

1311

190

19

1

 

20

484500

146490

38304

8455

1520

210

20

1

 

Zhi-Wei sun avanzò la congettura che ogni elemento della sequenza dei dei coefficienti trinomiali centrali abbia un fattore primo primitivo, ossia sia multiplo di un primo che non divide nessuno dei precedenti.

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