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Coefficienti binomiali eccezionali

Teoria dei numeri 

Si dicono “eccezionali” i coefficienti binomiali Coefficiente binomiale C(n, k), con n ≥ 2k, tali che il loro minimo fattore primo sia maggiore di n diviso k.

 

Il minimo fattore primo p di Coefficiente binomiale C(n, k) è di solito inferiore a n diviso k; le eccezioni, sono in numero finito per p > 11, ma infinito per p = 5, come dimostrato da Erdös, Lacampagne e Selfridge nel 1993.

Gli stessi matematici dimostrarono che per k > 2 esiste un coefficiente binomiale eccezionale  con 2kn < 4k.

I tre avanzarono anche la congettura che se k > 1, il minimo fattore primo di Coefficiente binomiale C(n, k) non superi il massimo tra n diviso k e 29 e che se n ≥ 2k, il minimo fattore primo non superi il massimo tra n diviso k e 17, con le sole 4 eccezioni riportate nella tabella più avanti (per p > 17).

 

Selfridge propose una congettura analoga se n > k2; l’unica eccezione nota è Coefficiente binomiale C(62, 6), che ha come minimo fattore primo 19.

 

La tabella seguente mostra i coefficienti eccezionali minori di 1018 con minimo fattore primo p minore di 13.

p

Coefficiente

3

Coefficiente binomiale C(13, 5), Coefficiente binomiale C(14, 6), Coefficiente binomiale C(15, 7), Coefficiente binomiale C(27, 10), Coefficiente binomiale C(27, 11), Coefficiente binomiale C(28, 12), Coefficiente binomiale C(29, 12), Coefficiente binomiale C(29, 13), Coefficiente binomiale C(30, 12), Coefficiente binomiale C(30, 14), Coefficiente binomiale C(31, 11), Coefficiente binomiale C(31, 12), Coefficiente binomiale C(31, 13), Coefficiente binomiale C(31, 14), Coefficiente binomiale C(31, 15), Coefficiente binomiale C(49, 17), Coefficiente binomiale C(52, 20), Coefficiente binomiale C(54, 20), Coefficiente binomiale C(54, 22), Coefficiente binomiale C(55, 19), Coefficiente binomiale C(55, 20), Coefficiente binomiale C(55, 21), Coefficiente binomiale C(55, 22), Coefficiente binomiale C(55, 23), Coefficiente binomiale C(56, 24), Coefficiente binomiale C(57, 24), Coefficiente binomiale C(57, 25), Coefficiente binomiale C(58, 24), Coefficiente binomiale C(58, 26), Coefficiente binomiale C(59, 24), Coefficiente binomiale C(59, 25), Coefficiente binomiale C(59, 26), Coefficiente binomiale C(60, 24), Coefficiente binomiale C(60, 28), Coefficiente binomiale C(61, 21), Coefficiente binomiale C(61, 24), Coefficiente binomiale C(61, 25), Coefficiente binomiale C(61, 29), Coefficiente binomiale C(62, 22), Coefficiente binomiale C(62, 24), Coefficiente binomiale C(62, 26), Coefficiente binomiale C(63, 22), Coefficiente binomiale C(63, 23), Coefficiente binomiale C(63, 24), Coefficiente binomiale C(63, 25), Coefficiente binomiale C(63, 26), Coefficiente binomiale C(63, 28), Coefficiente binomiale C(63, 29), Coefficiente binomiale C(63, 30), Coefficiente binomiale C(63, 31)

5

Coefficiente binomiale C(7, 3), Coefficiente binomiale C(13, 4), Coefficiente binomiale C(15, 6), Coefficiente binomiale C(25, 9), Coefficiente binomiale C(26, 8), Coefficiente binomiale C(26, 10), Coefficiente binomiale C(41, 9), Coefficiente binomiale C(43, 9), Coefficiente binomiale C(50, 18), Coefficiente binomiale C(51, 18), Coefficiente binomiale C(51, 19), Coefficiente binomiale C(52, 16), Coefficiente binomiale C(53, 16), Coefficiente binomiale C(53, 17), Coefficiente binomiale C(53, 20), Coefficiente binomiale C(53, 21), Coefficiente binomiale C(61, 28), Coefficiente binomiale C(62, 28)

7

Coefficiente binomiale C(14, 4), Coefficiente binomiale C(23, 5), Coefficiente binomiale C(43, 10), Coefficiente binomiale C(44, 12), Coefficiente binomiale C(59, 27), Coefficiente binomiale C(62, 30), Coefficiente binomiale C(63, 27)

11

Coefficiente binomiale C(44, 8), Coefficiente binomiale C(46, 10), Coefficiente binomiale C(47, 10), Coefficiente binomiale C(74, 10), Coefficiente binomiale C(94, 10), Coefficiente binomiale C(95, 10), Coefficiente binomiale C(124, 12)

 

I coefficienti eccezionali noti per p > 11 sono riportati nella tabella seguente, dove p è il minimo fattore primo.

p

Coefficiente

13

Coefficiente binomiale C(47, 11), Coefficiente binomiale C(3574, 406)

17

Coefficiente binomiale C(241, 16), Coefficiente binomiale C(317, 56), Coefficiente binomiale C(439, 33), Coefficiente binomiale C(482, 130), Coefficiente binomiale C(998, 256), Coefficiente binomiale C(998, 260), Coefficiente binomiale C(13277, 900), Coefficiente binomiale C(14273, 896)

19

Coefficiente binomiale C(62, 6), Coefficiente binomiale C(959, 56)

23

Coefficiente binomiale C(474, 66)

29

Coefficiente binomiale C(284, 28)

 

Si conoscono solo 14 casi nei quali il minimo fattore primo p di Coefficiente binomiale C(n, k) sia superiore al massimo tra n diviso k e k, riportati nella tabella seguente.

p

Coefficiente

k + 1

Coefficiente binomiale C(13, 4), Coefficiente binomiale C(46, 10), Coefficiente binomiale C(47, 10), Coefficiente binomiale C(74, 10), Coefficiente binomiale C(94, 10), Coefficiente binomiale C(95, 10), Coefficiente binomiale C(241, 16), Coefficiente binomiale C(284, 28)

k + 2

Coefficiente binomiale C(7, 3), Coefficiente binomiale C(23, 5), Coefficiente binomiale C(47, 11)

k + 3

Coefficiente binomiale C(14, 4), Coefficiente binomiale C(44, 8)

k + 6

Coefficiente binomiale C(62, 6)

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