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Figurati (numeri)

Numeri figurati 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule per il calcolo di numeri figurati
  3. 3. Somme di numeri figurati
  4. 4. Somme dei reciproci di numeri figurati
  5. 5. Espressione di interi come somma di numeri figurati
  6. 6. Numeri figurati appartenenti a più categorie
  7. 7. Formule per i numeri figurati appartenenti a due categorie
  8. 8. Numeri figurati primi

Sono numeri naturali che rappresentano figure, cioè i numeri di palline che possono essere utilizzate per costruire rappresentazioni di figure geometriche, come i cubi, i numeri poligonali, tetraedrici, ottaedrici, piramidali (II) ecc..

 

Furono studiati già dagli antichi Greci: quadrati e cubi erano ben noti, Pitagora conosceva i numeri triangolari e Speusippo (nipote di Platone) menzionò numeri poligonali e piramidali (I).

 

Sono ottenibili con polinomi, di grado uguale alla dimensione, quindi 2 nel caso di figure piane e 3 nel caso di solidi.

 

In generale ogni categoria di numeri figurati pone tre problemi, in ordine crescente di difficoltà:

  • trovare il polinomio che li genera;

  • trovare la somma dei reciproci ed eventualmente delle loro potenze, sia con segni tutti positivi, che a segni alterni; tali somme esistono e sono finite, perché somme di reciproci di polinomi di grado almeno 2;

  • stabilire quanti addendi della categoria servano per rappresentare qualsiasi intero positivo.

Il primo è di solito un esercizio semplice: basta trovare i numeri di palline corrispondenti a d + 1 configurazioni, dove d è il numero di dimensioni, poi applicare il calcolo delle differenze finite o le formule per le interpolazioni polinomiali.

Il secondo è generalmente un esercizio di analisi, che può rivelasi ostico, ma più noioso, che complicato da un punto di vista concettuale.

Il terzo è un problema difficilissimo, risolto solo in casi particolari. In generale i numeri da determinare sono due: quanti numeri della categoria servano per rappresentare qualsiasi intero e quanti ne servano per rappresentare qualsiasi intero abbastanza grande. La seconda parte è spesso molto più difficile della prima.

 

Esiste poi un problema generale molto difficile, consistente nel trovare i numeri che appartengono contemporaneamente a più categorie.

 

Non esiste limite alle categorie che possono essere definite, esattamente come non esiste limite al modo di disporre palline sul piano o nello spazio: si può partire dai poligoni regolari, per arrivare a rettangoli sormontati da un triangolo o da un ettagono. Qui sono trattati solo i numeri figurati che corrispondono a forme con un alto grado di simmetria.

In due dimensioni esistono tre categorie:

In tre dimensioni abbiamo:

 

Il concetto di numeri figurati può essere esteso a più dimensioni, anche se è alquanto difficile… figurarseli!

In 4 dimensioni vi sono 6 politopi regolari, ai quali corrispondono altrettante categorie di numeri figurati:

In 5 o più dimensioni vi sono solo 3 politopi regolari, ai quali corrispondono altrettante sequenze di numeri figurati:

  • ipertetraedrici;

  • ipercubi;

  • iperottaedrici.

In 2 o più dimensioni vi sono inoltre i numeri nexus.

 

Informazioni più dettagliate si trovano alle voci corrispondenti alle varie categorie.

Bibliografia

  • Hua, L.K.;  "On a Generalized Waring Problem" in Journal of Chinese Mathematical Society, n. 2, 1940, pag. 175 – 191.
  • Hua, L.K.;  "On a Waring’s Problem with Cubic Polynomial Summands" in Journal of Indian Mathematical Society, n. 4 (1940), pag. 127 – 135.
  • Nechaev, V.I.;  "Waring’s Problem for Polynomials" in Trudy Mat. Inst. Steklov, n. 38 (1951), pag. 190 – 243.

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