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Tetraedrici (numeri)

Numeri figurati 

I numeri tetraedrici sono i numeri di palline che si possono disporre a formare un tetraedro, cioè una piramide a base triangolare, con 1 pallina nello strato superiore, 3 nel secondo, 6 in quello sottostante, ecc., come mostra la figura.

Raffigurazione dei numeri tetraedrici

 

Sono quindi numeri figurati, più precisamente platonici.

 

L’n-esimo numero tetraedrico è la somma dei primi n numeri triangolari ed è dato da Formula per i numeri tetraedrici, formula già nota al matematico indiano Āryabhaţa (Kusumapara, India, 476 – 550).

 

I numeri tetraedrici hanno alcune interessanti proprietà.

 

Tn è il numero di sottoinsiemi di 3 elementi che si possono estrarre da un insieme di n + 2 elementi.

 

Tn + 2 è il numero di scomposizioni di un intero positivo n come somma di 4 numeri naturali anche nulli, contando separatamente le diverse permutazioni degli addendi. Per esempio, T4 = 10 e vi sono 10 scomposizioni del genere di 2: 2 = 2 + 0 + 0 + 0 = 0 + 2 + 0 + 0 = 0 + 0 + 2 + 0 = 0 + 0 + 0 + 2 = 1 + 1 + 0 + 0 = 1 + 0 + 1 + 0 = 1 + 0 + 0 + 1 = 0 + 1 + 1 + 0 = 0 + 1 + 0 + 1 = 0 + 0 + 1 + 1.

La stessa proprietà si può enunciare dicendo che Tn + 2 è il numero di matrici 2 × 2 di numeri naturali, tali che la somma degli elementi sia n.

 

Ogni intero positivo n si può scomporre come somma di due addendi interi maggiori di zero in n – 1 modi diversi, contando separatamente le somme con gli stessi addendi in ordine diverso; la somma dei prodotti di queste coppie è Tn – 1 (Amarnath Murthy, 2003). Per esempio, 6 si scompone in 5 modi: 6 = 1 + 5 = 2 + 4 = 3 + 3 = 4 + 2 = 5 + 1 e 1 • 5 + 2 • 8 + 3 • 3 + 4 • 2 + 5 • 1 = 53 = T5.

 

Formula per il calcolo dei numeri tetraedrici (Amarnath Murthy, 2002).

 

Tn è il numero di termini nell’espansione di (x1 + x2 + x3 + x4)n – 1.

 

Tn è il numero di funzioni f dall’insieme { 1, 2, 3 } con valori interi tra 1 e n + 4, tali che f(1) + 1 < f(2) e f(2) + 1 < f(3).

 

Definendo un polinomio Formula per la definizione del polinomio P(x), dove Un(x) è un polinomio di Chebyshev di seconda specie, la derivata di Pn(x) calcolata per x = 2 è Tn.

 

Alcune formule che coinvolgono numeri tetraedrici:

6Tn – 1 + n = n3;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici;

Tn = Tn – 2 + n2, per n > 1;

Tn = 2Tn – 1Tn – 2 + n, per n > 1;

Tn = 3Tn – 1 – 3Tn – 2 + Tn – 3 + 1, per n > 2;

Tn = 4Tn – 1 – 6Tn – 2 + 4Tn – 3Tn – 4, per n > 3;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici;

T2n = 4(Tn + Tn – 1);

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici;

Tmn + m + n = (n + 1)Tm + (m + 1)3Tn;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici, dove la derivata va calcolata per x = 0;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici, dove la derivata va calcolata per x = 0;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici, dove T(n) è l’n-esimo numero triangolare;

Formula per il calcolo di numeri tetraedrici.

 

Per le somme dei numeri tetraedrici e dei loro reciproci valgono le formule:

Formula per la somma dei numeri tetraedrici;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri tetraedrici;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri tetraedrici;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri tetraedrici;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri tetraedrici;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri tetraedrici;

Formula per la somma dei reciproci dei numeri tetraedrici a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei quadrati dei numeri tetraedrici a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci dei cubi dei numeri tetraedrici a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quarte potenze dei numeri tetraedrici a segni alternati;

Formula per la somma dei reciproci delle quinte potenze dei numeri tetraedrici a segni alternati.

 

La funzione generatrice è Funzione generatrice dei numeri tetraedrici e la funzione generatrice esponenziale è Funzione generatrice esponenziale dei numeri tetraedrici.

 

La tabella seguente riporta i numeri tetraedrici fino a T20.

n

Tn

1

1

2

4

3

10

4

20

5

35

6

56

7

84

8

120

9

165

10

220

11

286

12

364

13

455

14

560

15

680

16

816

17

286

18

1140

19

1330

20

1540

 

La somma di due numeri tetraedrici consecutivi è un numero piramidale a base quadrata: Tn + Tn – 1 = P4, n Per rendersene conto basta osservare che il numeri di palline in ogni strato della piramide ottenuta è la somma di due numeri triangolari consecutivi, che danno appunto un quadrato.

 

I numeri sia tetraedrici, che triangolari, sono: 1, 10 = T3 = T(4), 120 = T8 = T(15), 1540 = T20 = T(55) e 7140 = T34 = T(119), dove T(n) è l’n-esimo numero triangolare (E.T. Avanesov, 1966).

 

I numeri sia tetraedrici, che quadrati, sono: 1, 4 = T2 = 22 e 19600 = T48 = 1402 (A.-J.-J. Meyl, 1878).

 

Nessun numero tetraedrico (a parte 1) è un cubo (Eulero). Kálmán Györy dimostrò nel 2003 che non può essere una qualsiasi potenza maggiore di 1 con esponente superiore a 2, tranne nel caso citato.

 

Nessun numero tetraedrico (a parte 1) è un numero piramidale (I) (Finkelstein 1966, Beukers 1988).

 

Per numeri tetraedrici appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Il minimo numero tetraedrico uguale alla somma di altri due è 680 = 120 + 560.

 

L’unico numero tetraedrico uguale al doppio di un altro è T4 = 20 = 2T3 (S. Segal).

 

L’unico numero tetraedrico uguale alla somma di 4 numeri tetraedrici consecutivi è T5 = 35 = T1 + T2 + T3 + T4.

 

Gli unici numeri tetraedrici uguali a un terzo di un numero triangolare sono T1 = 1 e T5 = 35 (Mordell).

 

A Makowski dimostrò nel 1962 che l’unico numero tetraedrico che sia un numero di Mersenne è T1 = 1 = 21 – 1 e che non esistono numeri tetraedrici della forma 2n + 1.

 

Vi sono infiniti numeri tetraedrici esprimibili come somma di due numeri tetraedrici (S. Chowla). I primi sono: 20, 680, 29260, 34220, 70300, 221815, 227920, 287980, 467180, 908600, 2481115, 4278680, 12259940, 13813570, 15493204, 17861900, 19970444, 24672560, 25665020, 27880600, 29742164, 34055980, 44722580 (N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Ogni intero positivo si può esprimere come somma di 8 numeri tetraedrici (Watson, 1952). Secondo la congettura di Pollock ne bastano 4 per interi abbastanza grandi ma non è stato dimostrato; la congettura è stata verificata fino a oltre 4 • 1011 ed è generalmente ritenuta vera.

 

Probabilmente vi sono solo 241 interi positivi non esprimibili come somma di 4 numeri tetraedrici, ma che richiedono 5 addendi: 17, 27, 33, 52, 73, 82, 83, 103, 107, 137, 153, 162, 217, 219, 227, 237, 247, 258, 268, 271, 282, 283, 302, 303, 313, 358, 383, 432, 437, 443, 447, 502, 548, 557, 558, 647, 662, 667, 709, 713, 718, 722, 842, 863, 898, 953, 1007, 1117, 1118, 1153, 1227, 1233, 1243, 1314, 1382, 1402, 1468, 1478, 1513, 1523, 1578, 1612, 1622, 1658, 1678, 1693, 1731, 1738, 1742, 1758, 1767, 1803, 1858, 1907, 1923, 1933, 2037, 2053, 2172, 2198, 2217, 2218, 2251, 2253, 2327, 2372, 2382, 2417, 2437, 2457, 2537, 2538, 2578, 2687, 2818, 2858, 2898, 2973, 3138, 3142, 3183, 3218, 3263, 3463, 3512, 3887, 4003, 4307, 4317, 4563, 4832, 4923, 5013, 5142, 5238, 5283, 5483, 5508, 5538, 5563, 5618, 5647, 5707, 6022, 6057, 6067, 6186, 6213, 6263, 6343, 6462, 6863, 7067, 7278, 7377, 7387, 7423, 7497, 7542, 7662, 7793, 7873, 8223, 8307, 8322, 8973, 9063, 9488, 9687, 9753, 9772, 9973, 10397, 10467, 10532, 10633, 10852, 11237, 11302, 11737, 11962, 12247, 12547, 12722, 12777, 12843, 12858, 13127, 13393, 13822, 14492, 15122, 15483, 15867, 16097, 16538, 16637, 16742, 17253, 17683, 17813, 17893, 18573, 18782, 19168, 19277, 20918, 21523, 22618, 22657, 23677, 24237, 24317, 24338, 25447, 25723, 26007, 27858, 28617, 28847, 29157, 29487, 29938, 30298, 31973, 33183, 36262, 36913, 37798, 38453, 38707, 38807, 39693, 39913, 41278, 41322, 41433, 44833, 47627, 48043, 56467, 56842, 58613, 59077, 62158, 64752, 65253, 65567, 71157, 74687, 78003, 78787, 83603, 84023, 85993, 91128, 106277, 113062, 134038, 148437, 343867. Se ve ne sono altri, sono maggiori di 109 (M. Fiorentini, 2013).

 

Ogni intero positivo può essere espresso come somma di numeri tetraedrici differenti, tranne 112 numeri: 2, 3, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 22, 23, 26, 27, 28, 29, 32, 33, 37, 38, 41, 42, 43, 44, 47, 48, 51, 52, 53, 54, 58, 62, 63, 64, 68, 72, 73, 74, 75, 78, 79, 82, 83, 93, 97, 100, 103, 107, 110, 113, 117, 127, 128, 132, 136, 137, 138, 142, 146, 147, 148, 152, 157, 158, 162, 163, 167, 168, 172, 173, 178, 182, 183, 184, 188, 192, 193, 194, 198, 202, 203, 213, 217, 223, 227, 233, 237, 247, 248, 258, 262, 268, 272, 278, 282, 292, 293, 302, 303, 313, 323, 327, 333, 337, 348, 358, 422, 443, 548, 558.

 

Ogni intero positivo è la somma algebrica di esattamente 4 numeri tetraedrici: 1 = T4 + T1T3T3, 2 = T4T3T2T2 e Tn + Tn – 2Tn – 1Tn – 1, per n > 2.

 

I numeri tetraedrici con indice della forma 4n + 1 sono dispari, gli altri pari.

 

Nessun numero tetraedrico è primo.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 56, aprile 1973, pag. 94.
  • Gardner, Martin;  The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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