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“Un nono” (costante)

Analisi 

L’origine della costante “un nono” sta nella ricerca della miglior approssimazione della funzione ex sotto forma di quoziente di polinomi P(x) / Q(x) sulla semiretta [ 0 .. ∞ ), importante nella valutazione dell’efficienza delle approssimazioni di Chebyshev in vari problemi fisici.

Dati due polinomi P(x) e Q(x) di grado non superiore rispettivamente a m e n, si definisce Valore assoluto della differenza tra la funzione e P(x) / Q(x) come il valore assoluto della differenza tra la funzione e il quoziente di due polinomi e Massimo del valore assoluto della differenza come il massimo di Em, n(x) per x non negativo. Il problema è quanto sia il minimo valore possibile di Em, n(x), scegliendo al meglio i polinomi.

I minimi possibili valori di Em, n(x), si indicano con λm, n, e sono chiamati “costanti di Chebyshev”.

 

W.J. Cody, G. Meinardus e R.S. Varga dimostrarono nel 1969 che Limite superiore per il valore di un limite che coinvolge le costanti di Chebyshev, poi A. Schönhage dimostrò nel 1973 che Limiti inferiori e superiore per i valori di alcune costanti di Chebyshev e poi che Limite che coinvolge le costanti di Chebyshev. Dato che con un polinomio di grado n anche a numeratore si raddoppiano i coefficienti disponibili, molti matematici supposero che se P(x) e Q(x) sono polinomi di grado non superiore a n, Limite supposto che coinvolge le costanti di Chebyshev, da cui il nome della costante. Il calcolo dei valori sino a λ14, 14 da parte di Cody, G. Meinardus e R.S. Varga fornì inizialmente un supporto numerico alla congettura.

 

Nel 1981 N. Trefethen calcolò per via numerica che il reciproco della costante, detto “costante di Varga”, è circa 9.28903 e dimostrò quindi che la costante doveva essere minore di 1 / 9.

Oggi sappiamo che la costante di Varga vale circa 9.2890254919.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della costante di Varga (Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

 

Nel 1984 A.J. Carpenter, A. Ruttan e R.S. Varga calcolarono i valori sino a λ30, 30 con 200 cifre di precisione, ottenendo una stima della costante pari a circa 0.107653919226484576615323445090947190587976563290115086698568146981924341462642643412776199040915873192967. Nel 1983 L.N. Trefethen e M.H. Gutknecht ottennero una stima molto vicina con un metodo completamente differente, rafforzando l’ipotesi che la congettura fosse falsa.

 

Nel 1982 Schönhage dimostrò che Limite inferiore del valore di un limite che coinvolge le costanti di Chebyshev e nel 1985 H.U. Opitz e K. Scherer dimostrarono che Limite inferiore del valore di un limite che coinvolge le costanti di Chebyshev, dimostrando definitivamente falsa la congettura.

Solo nel 1987 tuttavia A.A. Gonchar and E.A. Rakhmanov dimostrarono che Limite che coinvolge le costanti di Chebyshev esiste effettivamente ed è uguale a Formula per il valore della costante “un nono”, dove Formula per la definizione di K(x) e c ≈ 0.9089085575 è l’unica soluzione tra 0 e 1 dell’equazione K(x) = 2E(x), dove Formula per la definizione di E(x) (l’espressione per la costante era stata anticipata da A.P. Magnus l’anno precedente, senza dimostrazione), e dimostrando che la costante è l’unica soluzione positiva dell’equazione Equazione che ha per soluzione la costante “un nono”.

Queste dimostrazioni permisero a A.J. Carpenter di calcolarne l’anno seguente 101 cifre decimali.

Alla voce frazioni continue trovate un’ottima approssimazione della costante “un nono”.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante “un nono” (Robert G. Wilson V, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

 

A.P. Magnus dimostrò nel 1988 che la costante è l’unica soluzione compresa tra 0 e 1 dell’equazione Equazione che ha per soluzione la costante “un nono”.

Dato che l’equazione era stata studiata da G.H. Halphen (1886) e che la soluzione non è un nono, Varga propose di chiamare la costante “costante di Halphen”.

 

La figura seguente mostra il grafico della funzione Funzione legata alla costante “un nono” per x tra –0.6 e 1.

Grafico di una funzione legata alla costante “un nono”

Bibliografia

  • Varga, Richard S.;  Scientific Computation on Mathematical Problems and Conjectures, Society for Industrial and Applied Mathematics, 1990.

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