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Coefficienti binomiali buoni

Teoria dei numeri 

Si chiamano “coefficienti binomiali buoni” i coefficienti binomiali Coefficiente binomiale n su k con k > 1, tali che il loro minimo fattore primo sia maggiore di k. Per esempio, Esempio di coefficiente binomiale buono e il minimo fattore di 35 è maggiore di 4.

 

Sono infiniti, perché:

  • se p è primo, Esempio di coefficienti binomiali buoni ha un unico fattore primo, cioè p stesso, maggiore di p – 1;

  • se p è primo della forma 4k + 1, Esempio di coefficienti binomiali buoni è dispari e quindi ha tutti i fattori maggiori di 2;

  • se p è primo della forma 4k + 3, Esempio di coefficienti binomiali buoni è dispari e quindi ha tutti i fattori maggiori di 2.

 

Se g(k) è il minimo intero maggiore di k + 1 tale che Coefficienti binomiale buono sia un coefficiente binomiale buono, Erdös, C.B. Lacampagne e J.L. Selfridge dimostrarono nel 1993 che:

  • Limite inferiore del valore di g(k), per una costante c positiva;

  • se né k + 1 né k + 2 sono primi, g(k) ≥ (k + 1)q – 1, dove q è la massima potenza di un primo che divida k + 2, e quindi in particolare se k + 2 è una potenza di un primo, g(k) ≥ k2 + 3k + 1 e se k + 1 è composto e k + 2 è il doppio di una potenza di un primo, Limite inferiore del valore di g(k).

 

Andrew Granville e Olivier Ramaré dimostrarono che esiste una costante positiva c, tale che Limite inferiore del valore di g(k).

 

La tabella seguente riporta i coefficienti binomiali buoni fino a 106 e il loro minimo fattore primo.

n

k

p

7

3

5

7

4

5

15

3

5

13

4

5

14

4

7

23

3

7

31

3

5

35

3

5

22

4

5

23

4

5

39

3

13

43

3

7

51

3

5

31

4

5

59

3

19

23

5

7

67

3

5

71

3

5

75

3

5

79

3

7

87

3

5

44

4

7

95

3

5

103

3

17

107

3

5

111

3

5

115

3

5

52

4

5

53

4

5

123

3

11

131

3

5

139

3

23

143

3

11

147

3

5

61

4

5

62

4

5

151

3

5

159

3

53

167

3

5

68

4

5

175

3

5

70

4

5

179

3

59

71

4

5

 

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