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Champernowne (numero di)

Rappresentazione dei numeri 

E’ definito come il numero che si ottiene scrivendo, dopo lo zero e il punto decimale, i numeri naturali a partire da 1 in notazione decimale uno dopo l’altro: 0.1234567891011121314....

 

Venne proposto nel 1933 da David G. Champernowne (1912 – 2000) come esempio di numero normale in base 10.

Kurt Mahler dimostrò nel 1937 che è trascendente.

 

Esistono frazioni con denominatori relativamente piccoli che lo approssimano molto bene, come Frazione che approssima il numero di Champernowne (9 cifre decimali corrette) o Frazione che approssima il numero di Champernowne (185 cifre decimali corrette), perché nello sviluppo in frazione continua ha denominatori spaventosamente grandi: il 1709-esimo denominatore, per esempio, vale circa 104911089.

 

Lo sviluppo in frazione continua semplice è [8, 9, 1, 149083, 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 3, 4, 1, 1, 1, 15, 4 57540 11139 10310 76483 64662 82429 56118 59960 39397 10457 55500 06620 04393 09026 26592 56314 93795 32077 47128 65631 38641 20937 55035 52094 60718 30899 84575 80146 98631 48833 59214 17830 10987, 6, 1, 1, 21, 1, 9, 1, 1, 2, 3, 1, 7, 2, 1, 83, 1, 156, 4, 58, 8, 54, ...] (il termine successivo ha 2504 cifre).

 

In modo analogo, ossia scrivendo uno dopo l’altro i numeri naturali in una qualsiasi base, si possono definire numeri di Champernowne in altre basi, come il numero di Champernowne binario, C2 = (0).(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)...2 ≈ 0.862240125868 e C3 = (0).(1)(2)(10)(11)(12)(20)(21)(22)...3 ≈ 0.5989581675. Cb è normale in base b.

 

Questi numeri possono essere calcolati tramite alcune formule, come: Formula per il calcolo del numero di Champernowne in base b e Formula per il calcolo del numero di Champernowne in base 2.

 

La tabella seguente riporta i primi valori (i valori in basi diverse da 10 sono troncati e non arrotondati).

b

Cb

2

0.110111001011101111002… = 0.8622401258680545715577902832493945785657647427682990945160712145573067405905164580420384414386181334…

3

0.121011122021221001013… = 0.5989581675384339925001722179294365909782087686761059367547860754796518419528084205540721108052796416…

4

0.123101112132021222334… = 0.4261111111111110657645565714201619850955462389672304106827916351725875535399344923154446963970773495…

5

0.123410111213142021225… = 0.3107361111111111111111111111109630333116049448491155046826222684703433922996878251821019771071800208…

6

0.123451011121314152026… = 0.2398626858150667674477198286722096245905769715293502137606931956315765834377548305078041572509274297…

7

0.123456101112131415167… = 0.1944355350862405214758400930829085764529329710504221124795885312336790887394035663970851865088612762…

8

0.123456710111213141518… = 0.1632648121052167973670949861426051902242378432854623330813807004283194759385235575711766187956664147…

9

0.123456781011121314159… = 0.1406249761196967824796690089356631832654570832468284866575551712754149148781854952436446901495702774…

10

0.1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950515253546…

11

0.123456789A101112131411… = 0.1099999999607415190770470554749704816736562437828717530933367747705288495119358250240147314428085655…

12

0.123456789AB10111213112… = 0. 0.0991735537176419157005260252436030476006046845815216447784611216972180197340953365906921724675073293…

13

0.123456789ABC1011121313… = 0.0902777777777343037588087044907715437712291038637007501896340321208111636787746700626110931564415492…

14

0.123456789ABCD101112114… = 0. 0.0828402366863892587630400208384053904334094683378413654260517284899710282822986331679649731450727717…

15

0.123456789ABCDE10111215… = 0.0765306122448979246017889468970048537139306790661718651305991602065322921851277236514194682108497027…

16

0.123456789ABCDEF1011116… = 0.0711111111111111102365063523810281617347092318654014531670511341791618608227604767397154940407535563…

17

0.123456789ABCDEFG101117… = 0.0664062499999999999792983612388911208106278977521564735979811914457415034246722597625948672638059836…

18

0.123456789ABCDEFGH10118… = 0.0622837370242214532867367618788024551803029888087726081215987480507641046943852836644155293904848155…

19

0.123456789ABCDEFGHI1019… = 0.0586419753086419753086323154404267206406951646543545120730248698855640999364648525932879420949393175…

20

0.123456789ABCDEFGHIJ120… = 0.0554016620498614958448751545203389455389727451460732030577697376272762105765667301084792180953637226…

 

Alle voci espansione di Engelespansione di Lehmerfrazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni del numero di Champernowne in base 10.

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione del numero di Champernowne in base 2 e 3 e di un decimo del numero di Champernowne in base 10.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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