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Cayley (numeri di)

Algebra 

I numeri di Cayley, detti anche ottonioni, sono un’ulteriore generalizzazione dei numeri ipercomplessi, scoperta nel 1843 da John t. Graves, ispirato dai lavori del suo amico Hamilton. Prendono però il nome da Cayley, che li riscoprì indipendentemente.

 

Sono numeri della forma i0a + i1b + i2c + i3d + i4e + i5f + i6g + i7h, dove i0 ... i7 sono unità indipendenti.

La somma tra essi è definita sommando i termini che moltiplicano l’unità corrispondente: (i0a1 + i1b1 + i2c1 + i3d1 + i4e1 + i5f1 + i6g1 + i7h1) + (i0a2 + i1b2 + i2c2 + i3d2 + i4e2 + i5f2 + i6g2 + i7h2) = i0(a1 + a2) +i1(b1 + b2) + i2(c1 + c2) + i3(d1 + d2) + i4(e1 + e2) + i5(f1 + f2) + i6(g1 + g2) + i7(h1 + h2).

 

Il coniugato di un numero di Cayley si ottiene cambiando il segno di tutte le “unità immaginarie”: (i0a + i1b + i2c + i3d + i4e + i5f + i6g + i7h) = (i0a + i1b + i2c + i3d + i4e + i5f + i6g + i7h)

 

Per quanto riguarda il prodotto, si comportano come polinomi, utilizzando la seguente tabella di moltiplicazione.

 

i0

i1

i2

i3

i4

i5

i6

i7

i0

i0

i1

i2

i3

i4

i5

i6

i7

i1

i1

–i0

i3

–i2

i5

–i4

–i7

i6

i2

i2

–i3

–i0

i1

i6

i7

–i4

–i5

i3

i3

i2

–i1

–i0

i7

–i6

i5

–i4

i4

i4

–i5

–i6

–i7

–i0

i1

i2

i3

i5

i5

i4

–i7

i6

–i1

–i0

–i3

i2

i6

i6

i7

i4

–i5

–i2

i3

–i0

–i1

i7

i7

–i6

i5

i4

–i3

–i2

i1

–i0

 

La tabella può essere spiegata nei termini seguenti: come i numeri ipercomplessi possono essere rappresentati come coppie di numeri complessi, i numeri di Cayley possono essere rappresentati come coppie di numeri ipercomplessi e in questo caso il prodotto tra due di essi soddisfa la relazione (a, b)(c, d) = (ac – bd) + (ad – bc).

 

In generale la moltiplicazione tra numeri di Cayley non è né commutativa (ossia xyyx), né associativa (ossia x(yz) ≠ (xy)z).

 

Come per i numeri complessi, la parte “reale” di un numero di Cayley x = i0a + i1b + i2c + i3d + i4e + i5f + i6g + i7h è Parte "reale" di un numero di Cayley e la parte “immaginaria” è Parte "immaginaria" di un numero di Cayley, mentre il prodotto tra x e il suo coniugato è sempre un numero reale positivo: xx = xx = a2 + b2 + c2 + d2 + e2 + f2 + g2 + h2.

 

Il modulo di un numero di Cayley è definito in modo analogo al modulo di complessi e ipercomplessi: Modulo di un numero di Cayley.

 

Dal fatto che il modulo di un prodotto è il prodotto dei moduli, segue l’identità degli otto quadrati di Degen.

 

Si può proseguire la costruzioni di numeri analoghi in dimensioni superiori? No, almeno se si vogliono mantenere le consuete proprietà: nel 1898 Hurwitz dimostrò che numeri reali, complessi, ipercomplessi e numeri di Cayley sono gli unici tali che tutte le moltiplicazioni per vettori unitari preservino sempre le distanze.

Nel 1956 J.F. Adams dimostrò che solo in 1, 2, 4 e 8 dimensioni si può definire un’algebra nella quale la divisione, tranne che per zero, è sempre possibile; solo in 1, 2 e 4 dimensioni, però, si può preservare anche l’associatività della moltiplicazione.

Va notato che all’aumentare del numero di dimensioni si perdono progressivamente alcune delle proprietà dei numeri reali:

  • passando dai reali ai complessi si perde l’ordinamento;

  • passando dai complessi agli ipercomplessi si perde la commutatività della moltiplicazione;

  • passando dagli ipercomplessi ai numeri di Cayley si perde l’associatività della moltiplicazione.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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