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Lobb (numeri di)

Matematica combinatoria 

I numeri di Lobb devono il loro nome a Andrew Lobb. Furono introdotti da questi nel 1999 come generalizzazione dei numeri di Catalan.

 

Sono definiti come Formula per la definizione dei numeri di Lobb, con nm ≥ 0. Per m = 0, coincidono con i numeri di Catalan: L0, n = Cn.

 

Ln, n – 1 = 2n – 1.

Ln, n = 1.

 

I numeri di Lobb possono essere espressi come differenza di coefficienti binomiali: Formula per il calcolo dei numeri di Lobb, per n > m.

 

Sono la soluzione al problema combinatorio di stabilire in quanti modi si possa costruire una sequenza di n + m “1”e nm “–1”, in modo che la somma parziale dall’inizio a un termine qualsiasi non sia mai negativa. Per m = 0 abbiamo il problema di Catalan.

Per esempio, vi sono L2, 3 = 9 modi di costruire sequenze del genere con 4 “1” e 2 “–1”:

  • 1, 1, 1, 1, –1, –1;

  • 1, 1, 1, –1, 1, –1;

  • 1, 1, 1, –1, –1, 1;

  • 1, 1, –1, 1, 1, –1;

  • 1, 1, –1, 1, –1, 1;

  • 1, 1, –1, –1, 1, 1;

  • 1, –1, 1, 1, 1, –1;

  • 1, –1, 1, 1, –1, 1;

  • 1, –1, 1,–1, 1, 1.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri di Lobb per n e m sino a 20.

n \ m

0

1

2

3

4

5

0

1

 

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

 

2

2

3

1

 

 

 

3

5

9

5

1

 

 

4

14

28

20

7

1

 

5

42

90

75

35

9

1

6

132

297

275

154

54

11

7

429

1001

1001

637

273

77

8

1430

3432

3640

2548

1260

440

9

4862

11934

13260

9996

5508

2244

10

16796

41990

48450

38760

23256

10659

11

58786

149226

177650

149226

95931

48279

12

208012

534888

653752

572033

389367

211508

13

742900

1931540

2414425

2187185

1562275

904475

14

2674440

7020405

8947575

8351070

6216210

3798795

15

9694845

25662825

33266625

31865925

24582285

15737865

16

35357670

94287120

124062000

121580760

96768360

64512240

17

129644790

347993910

463991880

463991880

379629720

262256280

18

477638700

1289624490

1739969550

1771605360

1485507600

1059111900

19

1767263190

4796857230

6541168950

6768687870

5801732460

4254603804

20

6564120420

17902146600

24647883000

25880277150

22626756594

17018415216

n \ m

6

7

8

9

10

11

6

1

 

 

 

 

 

7

13

1

 

 

 

 

8

104

15

1

 

 

 

9

663

135

17

1

 

 

10

3705

950

170

19

1

 

11

19019

5775

1309

209

21

1

12

92092

31878

8602

1748

252

23

13

427570

164450

50830

12350

2275

299

14

1924065

807300

278460

77805

17199

2898

15

8454225

3817125

1442025

451269

115101

23345

16

36463440

17530500

7152444

2459664

704816

165416

17

154969620

78676884

34295052

12776588

4034712

1066648

18

650872404

346618440

160043576

63882940

21912660

6399888

19

2707475148

1504152860

730588532

309722116

114108148

36283236

20

11173706960

6446369400

3275052040

1464140912

574221648

196534195

n \ m

12

13

14

15

16

17

18

19

20

12

1

 

 

 

 

 

 

 

 

13

25

1

 

 

 

 

 

 

 

14

350

27

1

 

 

 

 

 

 

15

3625

405

29

1

 

 

 

 

 

16

31000

4464

464

31

1

 

 

 

 

17

231880

40392

5423

527

33

1

 

 

 

18

1570800

318087

51765

6510

594

35

1

 

 

19

9859575

2258739

428127

65379

7733

665

37

1

 

20

58261125

14805180

3180372

566618

81510

9100

740

39

1

 

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