Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Catalan generalizzati (numeri di)

Matematica combinatoria 

I numeri di Catalan generalizzati sono definiti come Formula per la definizione dei numeri di Catalan generalizzati, con nk.

 

Sono sempre interi e intervengono nell’enumerazione dei possibili cammini su alcuni tipi di reticoli.

 

Le tabelle seguenti riportano i primi valori.

n \ k

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

3

1

1

1

 

 

 

 

 

 

 

4

1

3

1

1

 

 

 

 

 

 

5

1

2

2

1

1

 

 

 

 

 

6

1

5

10

5

1

1

 

 

 

 

7

1

3

5

5

3

1

1

 

 

 

8

1

7

7

35

7

7

1

1

 

 

9

1

4

28

14

14

28

4

1

1

 

10

1

9

12

42

126

42

12

9

1

1

11

1

5

15

30

42

42

30

15

5

1

12

1

11

55

165

66

462

66

165

55

11

13

1

6

22

55

99

132

132

99

55

22

14

1

13

26

143

143

429

1716

429

143

143

15

1

7

91

91

1001

1001

429

429

1001

1001

16

1

15

35

455

273

1001

715

6435

715

1001

17

1

8

40

140

364

728

1144

1430

1430

1144

18

1

17

136

340

476

6188

1768

4862

24310

4862

19

1

9

51

204

612

1428

2652

3978

4862

4862

20

1

19

57

969

3876

3876

3876

25194

8398

92378

 

n \ k

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

11

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

13

6

1

1

 

 

 

 

 

 

 

14

26

13

1

1

 

 

 

 

 

 

15

91

91

7

1

1

 

 

 

 

 

16

273

455

35

15

1

1

 

 

 

 

17

728

364

140

40

8

1

1

 

 

 

18

1768

6188

476

340

136

17

1

1

 

 

19

3978

2652

1428

612

204

51

9

1

1

 

20

8398

25194

3876

3876

3876

969

57

19

1

1

 

Un’altra generalizzazione dei numeri di Catalan si ottiene considerando il problema di determinare in quanti modi un poligono convesso con kn + 2 lati possa essere scomposto in n poligoni con k + 2 lati tramite n – 1 diagonali che non si intersecano. La risposta è Formula per la definizione dei numeri di Catalan generalizzati, che si riduce ai numeri di Catalan per k = 1.

 

Le tabelle seguenti riportano i primi valori.

n \ k

0

1

2

3

4

5

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

3

4

5

6

3

1

5

12

22

35

51

4

1

14

55

140

285

506

5

1

42

273

969

2530

5481

6

1

132

1428

7084

23751

62832

7

1

429

7752

53820

231880

749398

8

1

1430

43263

420732

2330445

9203634

9

1

4862

246675

3362260

23950355

115607310

10

1

16796

1430715

27343888

250543370

1478314266

11

1

58786

8414640

225568798

2658968130

19180049928

12

1

208012

50067108

1882933364

28558343775

251857119696

13

1

742900

300830572

15875338990

309831575760

3340843549855

14

1

2674440

1822766520

134993766600

3390416787880

44700485049720

15

1

9694845

11124755664

1156393243320

37377257159280

602574657427116

16

1

35357670

68328754959

9969937491420

414741863546285

8175951659117794

17

1

129644790

422030545335

86445222719724

4628362722856425

111572030260242090

18

1

477638700

2619631042665

753310723010608

51912988256282175

1530312970340384580

19

1

1767263190

16332922290300

6594154339031800

584909606696793885

21085148778264281865

20

1

6564120420

102240109897695

57956002331347120

6617078646960613370

291705220704719165526

 

n \ k

6

7

8

9

10

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

7

8

9

10

11

3

70

92

117

145

176

4

819

1240

1785

2470

3311

5

10472

18278

29799

46060

68211

6

141778

285384

527085

910252

1489488

7

1997688

4638348

9706503

18730855

33870540

8

28989675

77652024

184138713

397089550

793542167

9

430321633

1329890705

3573805950

8612835715

19022318084

10

6503352856

23190029720

70625252863

190223180840

464333035881

11

99726673130

410333440536

1416298046436

4263421511271

11502251937176

12

1547847846090

7349042994488

28748759731965

96723482198980

288417894029200

13

24269405074740

132969010888280

589546754316126

2216905597676000

7306488667126803

14

383846168712104

2426870706415800

12195537924351375

51256802757808320

186719056586568660

15

6116574500860880

44627576949364104

254184908607118800

1194060413809070710

4807757550367267056

16

98106248306858715

826044435409399800

5332692942907262361

27999654303202465310

124609430032127192295

17

1582638261961640247

15378186970730687400

112524941404978156215

660370070571422998410

3248403420844673986345

18

25661404527790252375

287756293703544823872

2386558769725904249070

15654733143626084944150

85116655019238877798764

19

417980115131315136400

5409093674555090316300

50848495433999570877570

372810950741127119130525

2240502835131462815673760

20

6836064539925118356600

102094541350737142767560

1087839166817343155355855

8914849657278177201028440

59218885239575819854859301

 

n \ k

11

12

13

14

15

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

12

13

14

15

16

3

210

247

287

330

376

4

4324

5525

6930

8555

10416

5

97527

135408

183379

243090

316316

6

2331924

3518515

5145336

7324878

10187344

7

58068792

95223414

150374056

229906300

341772552

8

1489899060

2655417765

4528486314

7435946115

11815724400

9

39113958819

75769712590

139546108625

246102164880

418008817798

10

1045659267016

2201663313200

4379076216438

8294711334910

15059926406096

11

28368973183200

64924369564353

139461523272085

283725920643048

550650814615720

12

779092434772236

1938034271677595

4496010926381352

9824294829146550

20381562083548848

13

21616536107173175

58448142042957576

146439782923866810

343688726144945040

762188806010669820

14

605034613235890512

1778197364075525550

4811642166029230560

12129248258088578100

28753733905585301136

15

17062835259261728040

54509031966588283344

159297460456229992380

431306008583779517040

1092975597259714940696

16

484371910426615567956

1681960147664045625285

5308658122318686222234

15438280311293473537331

41820546066482630185200

17

13829909184494555898060

52200801027958647946167

177941094505998859402710

555813507464465838674625

1609484153977526457766689

18

396905259938381718974700

1628422601742753717725110

5995113098284878685528950

20113602711453467172090480

62260865063764237850739760

19

11443057940806438679539860

51032391655491578491544385

202912268551711880677054000

731208550162091746660990350

2419551827581342555800953520

20

331270126045589034462771480

1605870860034277989656103600

6896137944904340543987080890

26691935085132149762029810710

94415374020801318486921022576

 

n \ k

16

17

18

19

20

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

17

18

19

20

21

3

425

477

532

590

651

4

12529

14910

17575

20540

23821

5

404957

511038

636709

784245

956046

6

13881945

18578196

24467212

31763004

40703775

7

495729741

703593825

979511104

1340246340

1805487684

8

18243038385

27460433286

40411916335

58281448940

82536059133

9

687002577695

1096750902780

1706201567785

2593593086150

3861208027677

10

26347344209901

44609801081780

73362952525863

117544525178080

183964864369286

11

1025498371658371

1841515680074616

3201466470842120

5406686759963586

8895637920654660

12

40405786921339385

76954393837490364

141428233263332860

251754316822792420

435449649601941975

13

1608489311089166835

3249071644857488520

6312374918257351482

11843869854466916000

21536300499213398556

14

64595315110014533629

138386855675694087000

284223796513617487040

562111494766066481400

1074527268900672758388

15

2613784129155164386575

5939055918736259991759

12894845472624839105560

26880682342195625393520

54019877805299081247036

16

106463932364272178140209

256569498889138342791510

588894813538193130767295

1293971606016930693830604

2733739122035340719901405

17

4361681481115351827455670

11148388021809242372111895

27050758656206146528056236

62651281502108852275337225

139149564651883571713169130

18

179612918129148904884024975

486913655811710637505012248

1248977393391271550436645787

3049081947758747276988376200

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Una differente generalizzazione è data dai numeri di Lobb.

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