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Ipercomplessi (numeri)

Algebra 

Sono chiamati in generale “ipercomplessi” gli elementi di un’algebra di dimensioni finite sui reali che sia unitale (ossia costituisca un anello, con un elemento identità per la moltiplicazione) e distributiva, ma non necessariamente commutativa.

 

I numeri ipercomplessi devono quindi costituire un insieme sul quale siano definite addizione e moltiplicazione, che soddisfi le seguenti condizioni (per qualsiasi scelta dei numeri a, b e c):

  • proprietà associativa dell’addizione, ossia (a + b) + c = a + (b + c);

  • proprietà commutativa dell’addizione, ossia a + b = b + a;

  • esistenza dell’identità additiva, ossia di un elemento 0 tale che 0 + a = a;

  • esistenza dell’inverso additivo, ossia di un elemento –a tale che a + (–a) = 0;

  • proprietà associativa della moltiplicazione, ossia (ab)c = a(bc);

  • proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione, ossia a(b + c) = (ab) + (ac) e (a + b)c = (ac) + (bc);

  • esistenza dell’identità moltiplicativa, ossia di un elemento 1 tale che 1a = a1 = a.

 

Un numero ipercomplesso si rappresenta come una lista di coefficienti (a0, a1, a2, … an), che s’intendono moltiplicati per altrettante unità (1, i1, i2, … in), ovvero come a0 + a1i1 + a2i2 + … anin.

Comumemente si aggiunge la condizione che il quadrato di ogni unità sia –1, 0 o 1.

 

A meno di isomorfismi, esiste una sola algebra del genere a una dimensione: quella dei reali.

 

A meno di isomorfismi, esistono tre algebre del genere a due dimensioni: i complessi, i numeri duali e i numeri iperbolici.

 

Tra gli esempi a quattro dimensioni vanno ricordati: bicomplessi, coquaternioni, quaternioni e quaternioni iperbolici; tra quelli a otto dimensioni: biquaternioni e numeri di Cayley.

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