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Quaternioni

Algebra 

William Rowan Hamilton (Dublino, 4/8/1805 – Dublino, 2/9/1865) ricercò per molto tempo un’estensione dei numeri complessi a 3 dimensioni, nella speranza che si sarebbero rivelati utili per la geometria tridimensionale quanto i complessi per quella piana.

Il suo obiettivo era trovare un’estensione che conservasse le proprietà più comuni dei numeri complessi, in particolare l’associatività di somme e prodotti, la proprietà distributiva e la simmetria tra le varie “unità”. Non riuscì nell’impresa, che oggi sappiamo essere impossibile, ma scoprì una generalizzazione a 4 dimensioni: numeri della forma a + ib + jc + kd, in seguito chiamata “quaternioni”.

Questi numeri, inizialmente chiamati anche “ipercomplessi”, rimasero per un certo periodo una curiosità matematica dalle limitate applicazioni, poi se ne scoprì l’utilità nella rappresentazione degli spin delle particelle e divennero uno strumento indispensabile in meccanica quantistica, nonché nella grafica tridimensionale.

Il termine “ipercomplessi” è oggi più correttamente considerato un nome collettivo per le varie estensioni dei numeri complessi.

 

I quaternioni furono il primo esempio di algebra non commutativa seriamente studiata, anche se Gauss aveva già considerato l’idea di un’algebra non commutativa nel 1820.

Con i numeri reali e complessi, costituiscono gli unici esempi di spazi vettoriali di dimensione finita con moltiplicazione associativa nei quali sia possibile la divisione, come dimostrò Frobenius nel 1878.

 

I quaternioni costituiscono un’algebra quadrimensionale associativa, ma non commutativa, sui reali. Si ottengono aggiungendo ai reali tre numeri: i, j e k non nulli, né positivi né negativi né reali, diversi da 1 e tra loro.

Un quaternione si esprime quindi come a + bi + cj + dk, con a, b, c e d reali; i reali stessi costituiscono un caso particolare di quaternioni, con b = c = d = 0.

 

Nelle moltiplicazioni le tre “unità” aggiuntive soddisfano le relazioni:

  • ij = –ji = k;

  • ki = –ik = j;

  • jk = –kj = i;

  • i2 = j2 = k2 = –1.

Queste formule sono note come “formule di Brougham Bridge”, dal nome col quale Hamilton chiamava il ponte di Broome a Dublino; raccontò, infatti, d’aver avuto l’idea il 16 ottobre 1843, mentre camminava su di esso con la moglie.

Hamilton stesso incise le equazioni su una pietra del ponte; il suo graffito è scomparso da tempo, ma è stato opportunamente sostituito con una placca commemorativa. Un raro esempio di vandalismo giustificato e perdonato.

 

Dalle formule si ricava che ijk = –1 e che la moltiplicazione tra quaternioni non è commutativa: in generale xy e yx sono diversi! Tecnicamente la mancanza di commutatività fa sì che questi numeri formino un’algebra, ma non un campo.

 

Dalle proprietà della moltiplicazione segue anche che a + bi + cj + dk = (a + bi) + j(c + di), ovvero che i quaternioni equivalgono alla combinazione lineare di due numeri complessi, moltiplicati per 1 e j.

 

Si può definire il “coniugato” di un quaternione x = a + bi + cj + dk come Formula per la definizione del coniugato di un quaternione; a differenza dei numeri complessi, il coniugato di un quaternione può essere espresso tramite addizioni e moltiplicazioni.

Il modulo di un quaternione è definito come il prodotto tra il numero e il suo coniugato, quindi il modulo di x = a + bi + cj + dk è xx = a2 + b2 + c2 + d2 e come per reali e complessi non può essere negativo ed è una norma.

La norma di un quaternione è la radice quadrata del modulo ed è un numero reale non negativo.

 

Le proprietà di i, j e k ci permettono di definire le operazioni sui quaternioni:

  • (a + bi + cj + dk) ± (e + fi + gj + hk) = (a ± e) + (b ± f)i + (c ± g)j + (d ± g)k;

  • (a + bi + cj + dk)(e + fi + gj + hk) = (aebfcgdh) + (af + be + chdg)i + (agbh + ce + df)j + (ah + bgcf + de)k;

  • Formula per il quoziente di quaternioni, per e2 + f2 + g2 + h2 diverso da zero (non è possibile la divisione per un quaternione con modulo nullo).

 

Mentre tra i numeri complessi vi sono due numeri che hanno per quadrato –1, ossia i e –i, tra i quaternioni ve ne sono infiniti: tutti quelli della forma bi + cj + dk con b2 + c2 + d2 = 1.

 

Si possono anche definire le funzioni esponenziali e logaritmiche sui quaternioni; dato un quaternione x = a + bi + cj + dk, abbiamo:

  • Formula per la funzione esponenziale di quaternioni;

  • Formula per il logaritmo di quaternioni.

Un quaternione a + bi + cj + dk può essere rappresentato tramite la matrice Rappresentazione di quaternioni tramite una matrice di numeri complessi, conservando le proprietà delle operazioni. Con questa rappresentazione:

  • il modulo è il determinante della matrice;

  • i numeri complessi corrispondono a matrici diagonali;

  • il coniugato di un quaternione è la trasposta coniugata della matrice.

 

Un quaternione a + bi + cj + dk può essere rappresentato tramite la matrice Rappresentazione di quaternioni tramite una matrice di numeri complessi, conservando le proprietà delle operazioni.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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