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Mersenne (numeri di)

Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Primi di Mersenne
  3. 3. Proprietà dei primi di Mersenne

I numeri di Mersenne, così chiamati in onore del monaco e matematico francese Marin Mersenne (Oize in Maine, 8/9/1588 – Parigi, 1/9/1648) sono gli interi della forma 2n – 1, comunemente indicati come Mn.

 

Se e solo se p = 4k + 3 > 3 e 2p +1 sono primi (quindi se p è un primo di Sophie Germain), Mp, è divisibile per 2p + 1 (Eulero 1750, dimostrato da Lagrange nel 1775); per esempio, per k = 2, p = 11, 2p + 1 = 23, 11 e 23 sono primi e M11 è divisibile per 23. Pertanto in ogni momento il più grande numero di Mersenne con indice primo del quale si sa che è composto ha come indice il massimo primo di Sophie Germain noto della forma 4k + 3.

L’unica eccezione è p = 3, perché M3 = 2p – 1, quindi M3 è divisibile per 2p + 1, ma M3 = 2p + 1 ed è primo.

 

Un numero di Mersenne Mp composto con p primo è  overpseudoprimo in base 2, quindi  numero di super-Poulet, superpseudoprimo in base 2 e pseudoprimo forte in base 2.

 

Sui fattori dei numeri di Mersenne sono stati dimostrati alcuni teoremi:

  • se n è divisibile per k, Mn è divisibile per Mk;

  • i fattori primi dei numeri di Mersenne Mn con n dispari hanno la forma 8k ± 1 (Eulero);

  • Fermat dimostrò che i fattori primi del numero di Mersenne Mp con p primo hanno la forma 2kp + 1;

  • se n è composto o potenza di un primo con esponente superiore a 2, Mn ha almeno 3 fattori primi distinti, di conseguenza gli unici numeri di Mersenne con due soli fattori primi distinti hanno per indice un primo o il quadrato di un primo;

  • se n è primo, tutti i divisori composti di Mn sono pseudoprimi in base 2;

  • un numero di Mersenne è divisibile per il quadrato di un numero primo dispari solo se questo è un primo di Wieferich; al momento non si conosce alcun esempio e molti ritengono che non ve ne siano, data anche la scarsità dei primi di Wieferich.

Ogni intero divide infiniti numeri di Mersenne.

Ogni numero primo divide al massimo un numero di Mersenne con indice primo.

 

Il minimo numero di Mersenne con tre fattori primi è M29 = 536870911 = 233 • 1103 • 2089.

 

Il massimo numero di Mersenne del quale siano noti tutti i fattori primi è M63703 e il massimo fattore primo noto di un numero di Mersenne composto è Massimo fattore primo noto di un numero di Mersenne composto (19169 cifre), mentre Massimo fattore primo probabile noto di un numero di Mersenne composto (351639 cifre) è il massimo fattore primo probabile noto di un numero di Mersenne composto.

 

I numeri di Mersenne si possono ottenere da una ricorrenza analoga a quella dei numeri di Fibonacci: Mn + 1 = 3Mn – 2Mn – 1.

 

Un numero di Mersenne non può essere un primo di Wieferich.

 

Nel 2002 Jansen dimostrò che i numeri di Mersenne Mp con p primo possono essere rappresentati come x2 + dy2, con x, y interi e d intero positivo non multiplo di quadrati, solo se d diviso 8 dà resto 3, 6 o 7.

 

Nel 1948 Nagell, dimostrando la congettura di Ramanujan (1913) che l’equazione x2 + 7 = 2n ha solo 5 soluzioni intere, dimostrò anche che gli unici numeri di Mersenne triangolari sono:

  • 20 – 1 = 0 = T0,

  • 21 – 1 = 1 = T1,

  • 22 – 1 = 3 = T2,

  • 24 – 1 = 15 = T5,

  • 212 – 1 = 4095 = T90.

 

Dalla congettura “abc” segue che i numeri di Mersenne potenti sono in numero finito.

 

La somma dei reciproci dei numeri di Mersenne è la costante di Erdös – Borwein, che vale circa 1.6066951524. La somma dei reciproci dei primi di Mersenne non può essere calcolata con assoluta esattezza, dal momento che non sappiamo come siano distribuiti i primi di Mersenne; quelli noti permettono comunque un calcolo di milioni di cifre: vale circa 0.5164835165.

Alla voce frazioni continue trovate un’ottima approssimazione della somma dei reciproci dei primi di Mersenne.

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p > 3 esista un primo q < p / 2, tale che Mq mod p = 2q – 1 mod p sia una radice primitiva di p.

 

Se un intero n è rappresentabile come quoziente di prodotti di numeri di Mersenne, esiste una formula della forma Formula per il calcolo del logaritmo di n, che permette il calcolo di singole cifre binarie di logn, senza calcolare le precedenti, come accade per π. In particolare una formula del genere esiste per tutti i primi di Mersenne e per infiniti multipli di qualsiasi intero.

Formule del genere sono state trovate anche per interi, come 2, che non sono esprimibili come quoziente di prodotti di numeri di Mersenne.

Se esiste una formula del genere per due interi distinti, esiste anche per il loro prodotto, quindi è particolarmente importante determinare per quasi numeri primi esistano. Al momento la lista comprende i primi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 37, 41, 43, 61, 73, 109, 113, 127, 151, 241, 257, 331, 337, 397, 683, 1321, 1429, 1613, 2113, 2731, 5419, 8191, 14449, 26317, 38737, 43691, 61681, 65537, 87211, 131071, 174763, 246241, 262657, 268501, 279073, 312709 e numerosi prodotti di altri primi. Il minimo caso irrisolto è 23; Carl Pomerance dimostrò che 23 non può essere espresso come quoziente di prodotti di numeri di Mersenne, ma questo non esclude l’esistenza di una formula del tipo descritto.

 

La funzione generatrice dei numeri di Mersenne è Funzione generatrice dei numeri di Mersenne.

La funzione generatrice esponenziale dei numeri di Mersenne è Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Mersenne.

 

Tutti i numeri di Mersenne maggiori di 3 sono brasiliani in base 2.

 

La tabella seguente riporta i primi 20 numeri di Mersenne.

n

Mn

1

1

2

3

3

7

4

15

5

31

6

63

7

127

8

255

9

511

10

1023

11

2047

12

4095

13

8191

14

16383

15

32767

16

65535

17

131071

18

262143

19

524287

20

1048575

 

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • Bach, Eric;  Shallit, Jeffrey;  Algorithmic Number Theory, MIT Press, 1997.
  • Bressanini, Dario;  "In 200000 per scoprire un numero primo" in Le Scienze, Milano, n. 425, gennaio 2004, pag. 22 – 23.
  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Giblin, Peter;  Primes and Programming, Cambridge University Press, 1993.
  • Shanks, Daniel;  Solved and Unsolved Problems in Number Theory, New York, Chelsea Publishing Co, V ediz., 2002 -

    La prima edizione risale al 2002; il grande successo del libro ha motivato le successive edizioni, ampliate e rivedute alla luce di progressi fatti negli anni.

  • Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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